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本研究では、以下の非線形偏微分方程式の初期値問題について取り組んだ。
(1) 2次元の分散・散逸モデルであるZakharov-Kuznetsov-Burgers (ZKB)方程式およびKP-Burgers (KPB)方程式
(2) 非線形項が2次で1階の空間微分を含む非線形シュレディンガー方程式の連立系
(3) 非線形項に3階以下の空間微分を含む非線形4階シュレディンガー方程式
(1)は分散項が異方性を持つ多次元モデル、(2)は異なる分散項を持つ方程式の連立系、(3)は高階の分散項を持つ方程式であり、いずれも複雑な共鳴構造を持っている。これらの方程式は物理現象を背景としていることに加え、共鳴構造は分散性および非線形相互作用による影響を解析する上で重要な役割を果たす。そのため、上記(1)-(3)のようなモデルを考えることは、現象等への応用の視点、数学モデルとしての視点どちらにおいても意義を持つ。
まず、前年度までに得られた成果を記載する。一つ目は、(1)の問題でZKB方程式の適切性を得たことである。ZKB方程式の散逸項は2次元平面上の1方向のみにしか与えられていないが、得られた結果は全ての方向において散逸項がないモデルに対する結果よりも改善されている。二つ目は、(2)の問題で共鳴が生じる場合の適切性についての先行結果を改良したことである(岡本葵氏、木下真也氏との共同研究)。特に、ほぼ全ての場合において、適切性が成立する初期値の滑らかさについて最良の結果を得ることができた。三つ目は、(3)の問題で適切性を得たことである(池田正弘氏、田中智之氏との共同研究)。この結果は多項式型の非線形項の枠組みでは一般的な場合を考えたものであり、先行結果の改善も含んでいる。最終年度では、(1)のKPB方程式について調べ、先行結果による解の減衰率が最良であることを得た(福田一貴氏との共同研究)。
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