| 研究成果の概要 |
非線形シュレディンガー方程式系の初期値問題に対し, 適切性が成立するソボレフ指数を共鳴構造に着目した条件によってほぼ完全に特徴付けた. また, 多項式型で3階以下の空間微分を含む一般の非線形項を持つ非線形4階シュレディンガー方程式の初期値問題に対し, 適切性について先行研究の改良を含む結果を得た. 特に, 方程式が尺度不変な場合には, 尺度臨界なソボレフ空間での適切性も得られた. さらに, 分散・散逸モデルの一つであるザハロフ・クズネツォフ・バーガース方程式の初期値問題の適切性を示すことで, 分散のみのモデルであるザハロフ・クズネツォフ方程式よりも良い構造を持つことを明らかにした.
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
本研究で扱った方程式のほとんどは空間2次元以上のモデルであり, 共鳴構造が複雑であるという特徴を持つ.そのような特徴は物理現象などを背景としたモデルにも現れるため, その解析は数学だけでなく現象の立場においても重要である. 実際, 本研究で扱った方程式も物理現象を背景としているものが多い. また, 本研究の主題にもなっている分散性は波の伝播を記述するモデルに多く見られる性質であり, 分散性と非線形性による影響は共鳴構造に依存する. そのため, 共鳴構造を精密に調べることは, 非線形分散型方程式の性質を明らかにするために重要な役割を果たす.
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