| 研究実績の概要 |
粘性保存則の一次元での結果を空間多次元へ拡張し，これまでほとんど研究されてこなかった球対称問題について研究を行っている. この方向での研究のケーススタディとして, 多次元空間上のバーガーズ方程式に対し, 外部領域における球対称解の漸近挙動について考察している. これまで, バーガーズ方程式や粘性保存則の多次元空間上での考察は, planar wave の解析が殆どであり，球対称解についての考察はなされてこなかった．
昨年度までの研究において，対応するリーマン問題が希薄波を持つ場合に対し境界条件の状態に応じて解の漸近形は「定常波」, 「希薄波」，「定常波と希薄波の重ね合わせ」の3 つの場合に分類されることを証明した. この結果は，半空間上における単独粘性保存則の初期値境界値問題の漸近形と同じものであることが確かめられた．さらに解の各漸近形への漸近評価についても「時間に関する重み付きエネルギー法」を用いることにより導出した．
今年度はバーガーズ方程式の外部問題において，単独１次元粘性保存則では存在しなかった漸近形について，単独粘性保存則では漸近形が衝撃波となる境界条件に対して，バーガーズ方程式の球対称解では「単調減少な定常波」となることを明らかにし論文を投稿，受理された．ここで単独粘性保存則の定常波は常に「単調増大」なものに限られるが，球対称バーガーズ方程式が「単調減少な定常波」を持つこと自体も大きな発見である.
さらに同投稿論文において，球対称バーガーズ方程式が，単調増大でも単調減少でもない「非単調な定常波」を持つことを発見し，この定常波に対する漸近安定性の証明も行った. また空間３次元に関しては，漸近形を完全に分類することに成功し，特に衝撃波に関しては漸近形が，「１次元バーガーズ方程式の衝撃波と単調減少な定常波の重ね合わせ」となることも記載した．
|
