| 研究課題/領域番号 |
17K14227
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
甲斐 伊都子 (橋本伊都子) 金沢大学, 機械工学系, 准教授 (70584639)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 外部問題 / 球対称問題 / 保存則 / バーガーズ方程式 |
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| 研究実績の概要 |
圧縮性ナビエストークス方程式の球対称問題を最終的な目標にかかげ、第一ステップの研究として、高次元空間上でのバーガーズ方程式の球対称問題を考察してきた。一昨年度までの研究において，対応するリーマン問題が希薄波を持つ場合に対し境界条件の状態に応じて解は「定常波」, 「希薄波」，「定常波と希薄 波の重ね合わせ」の3 つの場合に漸近することを証明し、さらに単独１次元粘性保存則では存在しなかった漸近形についても発見した。即ち単独粘性保存則では漸近形が衝撃波となる境界条 件に対して，バーガーズ方程式の球対称問題において解は「単調減少な定常波」に漸近すること明らかにした。さらに１次元バーガーズ方程式には見られない現象として、球対称バーガーズ方程式が，単調増大でも単調減少でもない「非単調な定常波」を持つことを発見し，この定常波に対する漸近安 定性の証明も行った. また空間３次元に関しては，球対称バーガーズ方程式の外部領域における初期値境界値問題において、解の漸近形を完全に分類することに成功した。
この研究を通し、１次元と高次元空間におけるバーガーズ方程式の解の性質に対する差異を明らかにしたものの、あくまで動径方向という１次元空間に制限した研究であった。即ち、高次元空間上におけるバーガーズ方程式の球対称問題であるが、球対称化された時点で問題は１次元となっている。そのため、種々の漸近形への漸近も、あらゆる時刻において１次元的に漸近するという強い制約を課した上での漸近安定性と解釈できる。そのため今年度は、高次元的な初期擾乱を与えてもなおこれまで得られた漸近形へ漸近するのかどうかについて研究を行った。遠方の速度が「０」である単調増加(減少)する定常波に対して、初期擾乱が高次元的であっても既存の定常波に漸近することを確かめた。手法は発展方程式に対する半群理論を用いて計算を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
計画通り順調に研究が進展している．具体的に、オランダで開催された国際研究集会equadiffで講演を行い、中国厦門で開催された「The seventh Japan-China Workshop on Mathematical Topics from Fluid Mechanics」にも参加し、講演を行った。
そこでは現在行っている球対称バーガーズ方程式の最近の結果を講演し、国内外の研究者と情報交換を行った。また国際雑誌であるMathematische Nachrichtenに論文を投稿し受理された。
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| 今後の研究の推進方策 |
圧縮性ナビエストークス方程式の球対称問題における、定常解の存在について研究を行っている。この問題において、外部領域における境界値問題を扱ってきた。球対称とは限らない空間1次元の場合にはMatsumura-Nishihara氏やKawashima-Nishibata-Zhu氏により境界条件と遠方条件の組み合わせに対応して,、様々な解の漸近挙動が考察されてきた。高次元空間上における球対称問題においては、境界上での速度が０の場合や、外力項がある場合の定常解の存在とその漸近安定性については様々な国内外の研究者により考察されてきた。しかしながら、境界上の速度が０でない場合の定常解の存在については考察がなされてこなかった。直近の研究において、境界上の速度や密度関数が０とは限らない場合について、境界上の速度がある程度小さい場合について、定常解の存在の証明を行った。この研究を踏まえて、今後は境界上の速度がより一般の場合の定常解の存在について考察を行っていきたい。
また高次元空間上における圧縮性ナビエストークス方程式の球対称問題において、定常解の存在は明らかになったものの、定常解の漸近安定性についてはまだ解明されていない。そのため、今後の課題として、定常解の安定性についてL2-エネルギー法を用いて解析していく。
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