| 研究課題/領域番号 |
17K17817
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
金沢 篤 京都大学, 白眉センター, 特定助教 (40784492)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | ミラー対称性 / Calabi-Yau多様体 / 可積分構造 / Landau-Ginzburg模型 / Kahler構造 / 安定性条件 / アトラクター幾何 / トーリック幾何 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き(1)Calabi-Yau(CY)多様体の退化と可積分構造(主にDHT予想)、(2)Kahler構造のモジュライ空間に関係する事柄を研究した。(1)DHT予想は、雑に言えば、Landau-Ginzburg(LG)模型の貼り合わせに関する予想であるが、この逆について考察することは自然な問題である。具体的には、コンパクトなCY多様体のCYファイブレーションを適当に分解することで2つのLG模型が構成される。この構成法の利点の１つは固有な超ポテンシャルが得られることで、これはミラー対称性の観点から重要である(ミラーの反標準因子の非特異性に関係する)。簡単な応用として、有理楕円曲面の場合にミラー対称性と整合的なLG模型の構成に成功した。トーリック幾何の範疇を大きく超えた、真に新しいLG模型のクラスが得られることが期待される。(2)昨年度の研究の応用として、アトラクター幾何のミラー対応物に関する研究を進めた。アトラクター幾何とは、G.Mooreによって導入された、複素構造のモジュライ空間上の質量関数の極小点に関する幾何である。例えばAbel多様体の場合に極小点はCM型Abel多様体に対応しており、CY多様体の対称性をモジュライ空間の幾何学から抽出する新しい方向の研究である。本研究では三角圏の安定性条件の空間をKahler構造のモジュライ空間の代替物と考え、(適当な条件の下で)アトラクター方程式のKahler類似の候補を書き下すことに成功した。Kahler構造のモジュライ空間は双有理幾何や連接層の導来圏に関係する重要な話題であるが、その数学的理解はまだ初期段階である。複素構造のモジュライ理論との類似を手掛かりに着実に研究を進めることが出来た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
DHT予想の逆問題は当初の計画にはない研究であったが、本研究課題の理解を深める上で重要であることが明らかになった。特にCYファイブレーションとLG模型を繋げる研究に関しては類似の研究は(申請者の知る限り)現在のところ存在しなく、新しい方向の研究を着実に進められたと考えている。昨年度に行ったKahler構造のモジュライ空間上のWeil-Petersson幾何に関する研究は技術的な困難もあり、あまり進展が得られなかった。これは導来圏の安定性条件の空間へのKahler構造のモジュライ空間の埋め込みに関する情報が不足していることが原因である。一方で、応用として考えていたアトラクター幾何のKahler類似に関する研究を進めることで、Kahler構造のモジュライ空間に関して新しい知見を得ることが出来た。以上の点を総合的に踏まえ、おおむね順調な進捗状況と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
基本的には本年度までの研究を継続発展させていく。本研究においてLG超ポテンシャルの(適当な)加法分解の重要性が明らかになっており、この解析も新たな課題と考えている。これはミラー側で反標準因子の有効分解に対応しており、代数幾何の立場からも重要である。Kahler構造のモジュライ空間の研究に関しても、理解を深めるためにアトラクター幾何のKahler類似について考察しており、三角圏の安定性条件の枠組みで得られた結果を纏めると同時に発展させていく。(箙の表現のなす圏など)幾何を背景に持たない圏にも理論の範疇を広げるために、アトラクター幾何の圏化も視野に入れて研究を進める。また今年度あまり研究を進められなかった、標準基底と幾何学的量子化についても研究を進めたい。以上の研究の過程で生じるであろう関連した問題についても積極的に調べていくことで、周辺分野についても理解を深めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定していた研究集会が諸事情により中止になったため。講演者の都合により規模を大幅に縮小する可能性もあるが、今年度秋に代わりの研究集会を開催する予定である。
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