Grothendieckの変動的ホッジ予想への新アプローチ

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17K18723
• 研究種目: 挑戦的研究(萌芽)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 代数学、幾何学およびその関連分野
• 研究機関: 東京大学 (2018-2019); 東京工業大学 (2017)
• 研究代表者: 齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50153804)
• 研究期間 (年度): 2017-06-30 – 2020-03-31
• キーワード: K理論 / リジッド解析空間

研究成果の概要

ホッジ予想はクレイ研究所が提出したミレニアム問題のひとつである．変動的ホッジ予想は，ホッジ予想よりは弱い予想であるが，アーベル多様体にたいしては同値である．最近の進展によりこの問題は，形式的スキームの代数的K群にたいする代数化の問題に帰着された．これはGrothendieckの偉業である形式的存在定理を大きく一般化する難題でこれまで一般的アプローチは知られていなかった．本研究は,リジッド解析空間のK理論を新たに構築することにより, リジッド解析的手法を上記の問題に適用する新たな道筋を開いた．

自由記述の分野

数論幾何学，代数幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

ホッジ予想が数学の最重要問題のひとつであることに異論はない．クレイ研究所がミレニアム問題の一つとして100万米ドルの懸賞金をかけたこともその理由の一つである．変動的ホッジ予想は，ホッジ予想よりは弱い予想であるが，これに対する新たな結果はホッヂ予想に対する重要な進展をもたらすことが期待される．最近の進展によりこの問題は，形式的スキームの代数的K群にたいする代数化の問題に帰着されたが．これについての一般的アプローチは知られていない．本研究の意義は,リジッド解析空間のK理論を構築することにより, リジッド解析的手法をこの難問に適用するという全く新しいアイデアにもとずくアプローチを与えたことにある．