| 研究課題/領域番号 |
17K18741
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
厚地 淳 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (00221044)
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| 研究期間 (年度) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| キーワード | ネヴァンリンナ理論 / 正則写像 / 有理形関数 / 拡散過程 / 確率解析 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の開始当初の研究計画では、研究期間における最初の2年間は、主に次の研究1,2 を並行して行う予定であった。
１. 一般ネヴァンリンナ理論の構築。
２. 新たな特性量の解析と一般ネヴァンリンナ理論の適用。
１. 負曲率ケーラー多様体で遠方ではリッチ曲率が高々２次のオーダーで負に発散するようなものを定義域とする有理形関数のネヴァンリンナ理論の一般化においては、我々の提唱する放物型スキームが有効に働くことを確かめた。さらに、この曲率条件を外すことを目標に研究を行った。この方向の研究では、一般の多様体を考えるのではなく、見方を変えて、複素ユークリッド空間の領域を被覆空間に持つような複素多様体を考えた。これは、本来、正則写像の値分布は定義域の多様体の計量によらないはずであるとの考えに基づく。このような空間も非常に多くの対象を包含するものと考えられる。この研究では、複素ユークリッド空間の正則なグリーン領域から複素射影空間への正則写像に関するネヴァンリンナ理論を展開した。この研究と合わせて、放物型スキームを援用することにより、このような領域を被覆空間に持つような正則写像に対してもネヴァンリンナ理論を展開できると期待される。
２.ネヴァンリンナ理論に現れる個数関数を一般化した劣調和関数のデフォルト関数について研究した。劣調和関数は、通常、リーマン計量から決まるラプラシアンに対応するものだが、我々はより一般のディリクレ形式に付随するものを考えた。このような関数に対しても、従来と同様にデフォルト関数を定義することができ、非常に一般の空間上の関数論、解析学に応用することができる。特に我々の得た新しい結果は、強劣調和関数と呼ばれる関数や山辺型方程式に関連する微分不等式を満たす関数に対するリュービル型定理に関するものである。また、応用として複素葉層構造上の関数論にも我々の議論を適用した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要でも述べたように、研究計画において初年度に予定していた研究内容の「一般ネヴァンリンナ理論の構築」と「新たな特性量の解析と一般ネヴァンリンナ理論の適用」のそれぞれにおいて、一定の成果があったと考えられるので、おおむね順調であると考える。
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| 今後の研究の推進方策 |
「一般ネヴァンリンナ理論の構築」に関連しては、研究実績で述べたようなグリーン領域を被覆空間に持つような複素多様体上のネヴァンリンナ理論を引き続き研究する。過年度はまだ、被覆空間のみについてであったので、これが被覆される空間についても考える。この際に放物型スキームが有効に働くと期待される。一方で、適当な条件を満たす良い領域についてはベルグマン計量が定義され、完備になることが知られている。ベルグマン計量は双正則な変換に対して不変であることが知られているので、この計量に対応する拡散過程を考え、これを基にしたネヴァンリンナ理論を構築すれば、複素構造のみによる普遍的なネヴァンリンナ理論を構築できると期待される。このために、我々の手法において新たに定義されたネヴァンリンナ理論に現れる特性量が双正則変換で不変であるかどうかを調べる。「新たな特性量の解析と一般ネヴァンリンナ理論の適用」においては、我々の手法で一般化されたネヴァンリンナ理論の応用として、複素葉層構造を持つ空間の研究にも応用しようと考えている。このような従来の方法ではとらえられない対象について応用し、成果をもたらすことができれば、我々の新しい方法の有効性を示す証左となるであろう。過年度までに原初的段階は達成されているので、葉層構造の確率論的、関数論的特徴づけなど、さらに進んだ研究を行う。前年度の研究で一般化したデフォルト関数の研究もこのような応用に有効に寄与するのではないかと期待している。さらに上述の研究が進展した上では、ランダムな解析関数のネヴァンリンナ理論の考察を計画している。これは研究計画における課題、「ジェネリックな有理形関数の一般的性質の抽出」への入り口である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初予定していた国内外の出張が、先方と当方のスケジュールの調整の結果、当該年度に行うことが困難となり、次年度以降に行うことにしたため、旅費支出が見込みを下回った。また、物品費についても一部について次年度以降に購入することとしたため、予定額を下回っている。よって未使用額が生じた。平成３０年度では、主に研究討論及び、研究発表のための旅費として使用する予定である。具体的には、京都大学、東北大学等への国内出張のほか、海外出張を２件以上を予定している。また、研究に使用するPC関連用品等に物品費を使用するほか、情報収集のための関連書籍の購入を予定している。
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