| 研究課題/領域番号 |
17K18742
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
井口 達雄 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (20294879)
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| 研究期間 (年度) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| キーワード | 水の波 / 変分構造 / 適切性 / 浅水波近似 / 磯部‐柿沼モデル / Green-Naghdi方程式 / 分散型偏微分方程式系 / 強非線形 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の対象である水の波は，重力場の下での非圧縮かつ非粘性流体の渦なし流に対する自由境界問題として偏微分方程式系によって数学的に定式化される．その水の波の基礎方程式系は変分構造をもつことが古くから知られており，水面の振幅および速度ポテンシャルを用いて Lagrangian を書き下すことができる．その速度ポテンシャルを鉛直方向の空間変数に関する多項式で近似し，その近似 Lagrangian に対する Euler-Lagrange 方程式（磯部‐柿沼モデル）を数学的に解析した．
一つ目の成果として，速度ポテンシャルをどのような多項式で近似しても，磯部‐柿沼モデルに対する初期値問題は，物理的な自然な条件下で適切であることを証明した．二つ目の成果として，磯部‐柿沼モデルは強非線形高次浅水波近似になっていることを証明した．具体的には，水底が平らな場合，偶数冪のみを含む2N次の多項式で近似し，そうでない場合，偶数冪および奇数冪どちらも含む2N次の多項式で近似すると，基礎方程式系の解と磯部‐柿沼モデルの解との差はδの4N+2乗になることを証明した．ここで，δは平均水深と代表波長の比で定義される浅水パラメータである．これらの成果により，磯部‐柿沼モデルがこれまでよく知られている浅水波モデルよりもはるかに優れていることが厳密に示されたことになる．
これらの成果は，２編の学術論文として学術雑誌に投稿済みであり，内１編は既に受理されている．また，これらの成果を２つの国際会議および５つの海外セミナーにて発表をした．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の主要目的の一つであった，一般の磯部‐柿沼モデルに対する初期値問題の適切性を物理的に自然な条件下で証明した．さらに，そのモデルが強非線形高次浅水波近似になっていることを証明した．これらの事項は，本研究課題の研究期間において最低限解明したいと考えていた内容である．ただし，これで全ての関連する問題が解決された訳ではない．水深がいたるところ無限大の deep water に対応する磯部‐柿沼モデルや，内部波に対する柿沼モデルの数学解析ついては，まだまだ未解決な部分が多い．このような状況を鑑みると，本研究課題はおおむね順調に進展していると判断できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，磯部‐柿沼モデルに対する孤立波解の存在・非存在を解明していく．これまでの研究により，速度ポテンシャルを2次多項式で近似することにより得られる磯部‐柿沼モデルについては，小さな孤立波解が存在することを確かめている．今後は，より一般の多項式で近似した場合の磯部‐柿沼モデルについて孤立波解の存在・非存在を解明したい．特に，近似する多項式の形と孤立波解の存在・非存在を明らかにすることは応用上重要な問題である．
同時に，内部波に対する柿沼モデルに対する初期値問題の適切性を解明していく．特に，ligid rid と呼ばれる，水面が水平面であると近似する場合について，２層問題の内部波について数学解析を進める．一般に，内部波に対する初期値問題は非適切であることが知られている．ところが，その強非線形浅水波近似である浅水波方程式に対して，内部遷移層における速度場の上下間の差が小さいという仮定の下，その初期値問題は適切である．また，内部波の強非線形高次浅水波近似モデルであるChoi-Camassa方程式については，元のモデル同様，非適切である．今後は柿沼モデルの初期値問題が適切であるか非適切であるかを解明したい．これは応用の観点からも非常に重要な問題である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2017年度は塾派遣留学という制度により，１年間フランスのボルドー大学に滞在していた．これは本科研費申請時には決まっていなかったことである．そのため，2017年度は当初の研究計画を変更し，旅費に関しては主として研究代表者の国際研究集会へ参加および関連研究者が所属する大学に訪問するのに使用する予定でいた．しかし，その多くの場合，研究集会主催者や訪問大学から旅費・滞在費が支給されたため，予定通りに使用することはなかった．そのため次年度使用額が生じた．
2018年度の研究計画は，主として国内および国際研究集会に積極的に参加し研究討論を行う．また，7月にはザールラント大学（ドイツ）の Mark Groves 氏およびオスロ大学（ノルウェー）の Snorre Christiansen 氏を招聘し，講演会の開催および研究討論をする予定である．両氏には既に訪日の了承を得ている．さらに，定期的に慶應義塾大学理工学部において非線形解析セミナーを開催し，国内外の研究者を招聘する予定である．
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