| 研究課題/領域番号 |
17K18742
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
井口 達雄 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (20294879)
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| 研究期間 (年度) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| キーワード | 水の波 / 内部波 / 変分構造 / 適切性 / 浅水波近似 / 磯部‐柿沼モデル / 分散型偏微分方程式系 / 強非線形 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の対象である水の波は，重力場の下での非圧縮かつ非粘性流体の渦なし流に対する自由境界問題として偏微分方程式系によって数学的に定式化される．その水の波の基礎方程式系は変分構造をもつことが古くから知られており，水面の振幅および速度ポテンシャルを用いて Lagrangian を書き下すことができる．その速度ポテンシャルを鉛直方向の空間変数に関する多項式で近似し，その近似 Lagrangian に対する Euler-Lagrange 方程式（磯部‐柿沼モデル）を数学的に解析した．
2017年度の研究成果として，物理的に自然な初期値に対する条件下で磯部‐柿沼モデルに対する初期値問題は適切性であること，更には，速度ポテンシャルの近似を適切に選べば，磯部‐柿沼モデルは強非線形高次浅水波近似になっていることを証明していた．これらの成果は３編の学術論文として投稿中であったが，2018年度中に３編とも出版された．
2018年度の一つ目の研究成果は，磯部‐柿沼モデルに Hamilton 構造があることを見出したことである．このモデルは変分構造をもつとはいえ，古典力学からの類推を直接は行えず，Hamilton 構造の有無は自明ではなかった．古典力学の類推から，Hamitonian は全力学的エネルギーであることが予想されていたが，本研究で正準変数を見出し，正準変数と磯部‐柿沼モデルの変数との間の関係を明確化した．この成果は今後，学術論文としてまとめる予定である．
2018年度の二つ目の研究成果は，表面波に対する磯部‐柿沼モデルを内部波に拡張した柿沼モデルに対して，その初期値問題の適切性を解明したである．特に，安定性条件を見出し，物理的に自然な初期値はその条件を満たすこと，およびその条件下で柿沼モデルに対する初期値問題が適切になることを証明した．この成果も今度，学術論文としてまとめる予定である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
2018年度の当初の研究計画では，磯部‐柿沼モデルに対する孤立波解の存在・非存在を解明することと，内部波に対する柿沼モデルに対する初期値問題の適切性を解明していくことであった．研究実績の概要で記したように，後者の研究は順調に進み，安定性条件の発見に至った．内部波の強非線形高次浅水波近似モデルであるChoi-Camassa方程式については，そのような安定性条件は存在しないことが知られていたので，磯部-柿沼モデルに対する研究成果から見ても，この安定性条件の存在は予想外の結果であり，柿沼モデルの優位性を示す結果となった．また，孤立波解の研究も順調に進んでいる．さらに，磯部-柿沼モデルの Hamilton 構造の発見も想定以上であり，このモデルに対する数学的知見を増やすことができた．このような状況を鑑みると，本研究課題は当初の計画以上に進展していると判断できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，磯部‐柿沼モデルに対する孤立波解の存在・非存在を解明していく．振幅が小さな孤立波解の存在については，摂動法を使うことにより既に証明している．今後は振幅が大きな孤立波解の存在・非存在の解明，特に非存在の場合は，振幅の臨界値を見出したい．理論で太刀打ちできない部分については，数値計算も援用していく．
次いで，内部波に対する柿沼モデルの解と，基礎方程式系の解との関係を明らかにしていく．表面波に対する磯部‐柿沼モデルのこれまでの研究により，柿沼モデルも強非線形高次浅水波モデルになっていることが期待される．しかし，内部波に対する基礎方程式系の初期値問題は非適切であるため，磯部‐柿沼モデルの時のような解の比較を直接行うことはできない．そのため，残差を評価する方法で比較を行う．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2018年度の当初研究計画では，主として国内および国際研究集会に積極的に参加し研究討論を行い，また，ザールラント大学（ドイツ）の Mark Groves 氏およびオスロ大学（ノルウェー）の Snorre Christiansen 氏を招聘し，講演会の開催および研究討論をする予定であった．主要な研究経費としてそのための旅費を計上していたが，両氏の日本滞在期間が当初見込んでいたより短かったことや，参加した幾つかの国内および国際研究集会では，研究集会主催者や訪問大学から旅費・滞在費が支給されたため，計上した研究経費を予定通りに使用せず，未使用額が生じた．
2019年度の研究計画は，昨年度に引き続き，主として国内および国際研究集会に積極的に参加し研究討論を行う．また，7月にはレンヌ大学（フランス）の Vincent Duchene 氏を招聘し，講演会の開催および研究討論をする予定である．Duchene 氏には既に訪日の了承を得ている．さらに，定期的に慶應義塾大学理工学部において非線形解析セミナーを開催し，国内外の研究者を招聘する予定である．一方，関連書籍も購入予定である．
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