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2017 年度 実施状況報告書

非直交変換に基づく高速・高精度・安定な行列計算アルゴリズムの設計手法の確立

研究課題

研究課題/領域番号 17K19966
研究機関電気通信大学

研究代表者

山本 有作  電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (20362288)

研究分担者 廣田 悠輔  国立研究開発法人理化学研究所, 計算科学研究機構, 特別研究員 (60709765)
研究期間 (年度) 2017-06-30 – 2020-03-31
キーワード行列計算 / 非直交変換 / 固有値計算 / 連立1次方程式解法 / COCG法
研究実績の概要

今年度は,時間依存固有値問題の解法とシフト線型方程式の解法の2つのテーマについて,非直交変換を用いたアルゴリズムの開発を行った。

(1) 時間依存固有値問題とは,時間に依存する行列A(t)の固有値・固有ベクトルをtの関数として求める問題である。本研究では,A(t)が実対称の場合を扱う。自明な解法として,tごとに固有値問題を解き直す方法があるが,1ステップ前のtの値を利用することで,計算量をより少なくできる解法が望まれる。本研究では,荻田・相島の固有ベクトル反復改良法に基づくアルゴリズムを提案した。荻田・相島法は,固有ベクトルを並べた行列X(t)を,途中で非直交行列となることも許しつつ,X^T(t)X(t)が単位行列かつX^T(t)A(t)X(t)が対角行列に近づくように更新してゆく手法である。この方法では,固有値が近接あるいは重複する場合に収束性が悪化するが,本研究では,部分対角化による前処理を導入することでこの問題を解決し,効率的なアルゴリズムを構成した。

(2) シフト線型方程式とは,(A+σI)x=bの形の方程式で,特にAが実対称,σが純虚数の場合は,シュレーディンガー方程式の時間発展の計算など,多くの応用がある。本問題の解法としては,COCG法が広く使われている。COCG法はCG法(共役勾配法)を複素対称行列に拡張した手法であるが,内積の代わりに疑似内積を使うため,生成されるクリロフ部分空間の基底が直交性を持たず,CG法の持つ無破綻性,誤差のAノルムの単調減少性などの優れた特徴を一般には持たない。にもかかわらず,シフト方程式に対するCOCG法は多くの場合,比較的安定に収束する。本研究ではこの理由について理論的な検討を行った。その結果,ある種のシフト方程式については,無破綻性と残差の準単調性が成り立つことを示し,収束の安定性の理由をある程度解明できた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

非直交変換に基づきながらも安定性を実現しているアルゴリズムを取り上げ,その理論的解析を行うという目標に向かい,研究がほぼ順調に進展している。当初の予定では,固有値問題と直交化を取り上げるはずであったが,シフト方程式に対するCOCG法という応用上重要な例が見つかったため,直交化に代えてそちらの解析を先に行った。

今後の研究の推進方策

引き続き,既存アルゴリズムの解析を行い,その安定性の理由を探るとともに,安定性を実現しているメカニズムを一般的な形で理解し,新たなアルゴリズムの開発に役立てる。

次年度使用額が生じた理由

2017年9月に国際学会での発表を予定していたが,より研究を進めた段階で発表したほうがよいと判断したため,次年度使用額が生じた。2018年度の国際学会のための旅費として使用する。

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 3件) 図書 (1件)

  • [国際共同研究] Salzburg University(Austria)

    • 国名
      オーストリア
    • 外国機関名
      Salzburg University
  • [国際共同研究] Slovakia Academy of Sciences(Slovakia)

    • 国名
      スロバキア
    • 外国機関名
      Slovakia Academy of Sciences
  • [雑誌論文] Solution of a Nonlinear Eigenvalue Problem Using Signed Singular Values2018

    • 著者名/発表者名
      Ooi Kouhei、Mizuno Yoshinori、Sogabe Tomohiro、Yamamoto Yusaku、Zhang Shao-Liang
    • 雑誌名

      East Asian Journal on Applied Mathematics

      巻: 7 ページ: 799~809

    • DOI

      10.4208/eajam.181016.300517c

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On Using the Cholesky QR Method in the Full-Blocked One-Sided Jacobi Algorithm2018

    • 著者名/発表者名
      Shuhei Kudo and Yusaku Yamamoto
    • 雑誌名

      Lecture Notes in Computer Science

      巻: 10777 ページ: 612-622

    • DOI

      10.1007/978-3-319-78024-5_53

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the optimality and sharpness of Laguerre's lower bound on the smallest eigenvalue of a symmetric positive definite matrix2017

    • 著者名/発表者名
      Yusaku Yamamoto
    • 雑誌名

      Applications of Mathematics

      巻: 62 ページ: 319-331

    • DOI

      10.21136/AM.2017.0022-17

    • 査読あり
  • [雑誌論文] The danger of combining block red?black ordering with modified incomplete factorizations and its remedy by perturbation or relaxation2017

    • 著者名/発表者名
      Shioya Akemi、Yamamoto Yusaku
    • 雑誌名

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      巻: 35 ページ: 195~216

    • DOI

      10.1007/s13160-017-0277-5

    • 査読あり
  • [学会発表] Block Red-Black Milu(0) Preconditioner with Relaxation on GPU2018

    • 著者名/発表者名
      Akemi Shioya and Yusaku Yamamoto
    • 学会等名
      18th SIAM Conference on Parallel Processing for Scientific Computing
    • 国際学会
  • [学会発表] Roundoff error analysis of the CholeskyQR2 and related algorithms2017

    • 著者名/発表者名
      Yusaku Yamamoto
    • 学会等名
      PARNUM2017
    • 国際学会
  • [学会発表] ブロック赤-黒順序付けされた摂動/緩和MILU(0) 前処理法のGPUとマルチコアCPUにおける性能評価2017

    • 著者名/発表者名
      塩谷明美,山本有作
    • 学会等名
      SWoPP 2017
  • [学会発表] On using the Cholesky QR method in the full-blocked one-sided Jacobi algorithm2017

    • 著者名/発表者名
      Shuhei Kudo and Yusaku Yamamoto
    • 学会等名
      PPAM2017
    • 国際学会
  • [学会発表] 虚数シフトを行った実対称行列のための COCG法と一般化MINRES法の性能比較2017

    • 著者名/発表者名
      清藤 博暉, 山本 有作
    • 学会等名
      日本応用数理学会「行列・固有値問題 の解法とその応用」研究部会 第24回研究会
  • [図書] Eigenvalue Problems: Algorithms, Software and Applications in Petascale Computing2018

    • 著者名/発表者名
      Yusaku Yamamoto
    • 総ページ数
      251-266
    • 出版者
      Springer
    • ISBN
      978-3-319-62426-6

URL: 

公開日: 2018-12-17  

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