多様体の特異点の研究

2007 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 18340004
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 石井 志保子 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (60202933)
• 研究分担者: 藤田 隆夫 東京工業大学, 大学院・理工研究科, 教授 (40092324) ; 渡辺 敬一 日本大学, 文理学部, 教授 (10087083) ; 泊 昌孝 日本大学, 文理学部, 教授 (60183878) ; 都丸 正 群馬大学, 医学部, 教授 (70132579)
• キーワード: singularity / integrally closed ideal / jet scheme / arc space / log-canonical threshold

研究概要

・arc spaceの上で因子的集合の包含関係と,対応するvaluationsの値の大小関係が一致するであろうという予想が正しくないことが証明された.反例は2次元平面上の因子によって構成される.これにより,arc spaceの構造が期待されるよりはるかに複雑であることがわかった.
・因子的附値がarc space内のcontact locusを用いて有限個の値を指定することにより決定されることを示した.
・特異点の局所環Rのイデアルの組(I,L)に関するF-thresholdの概念について研究した.この概念は正標数の手法を用いて,特異点の乗数イデアルの跳躍数lc thresholdなどを研究するものである.特にF-thresholdとイデアルの重複度との間に興味深い不等式を発見した.
・閉リーマン面上直線束Lとそれ上の有理型関数fを考え、Lを適当にブローアップし、そこにfを引き上げ制限することでC*-作用をもつ閉リーマン面の退化族が自然に構成可能なことがわかった.

研究成果

• [雑誌論文] Maximal divisorial sets in arc spaces (2008)
  • 著者名/発表者名: 石井志保子
  • 雑誌名: Adv. St. Pure Math. 50 ページ: 237-249
  • 査読あり
• [雑誌論文] Divisorial valuations via arcs (2008)
  • 著者名/発表者名: 石井志保子 T. De Fernex, L. Ein
  • 雑誌名: to appear in Publ. RIMS (掲載決定)
  • 査読あり
• [雑誌論文] F-thresholds, tight closure, integral closure, and multiplicity bounds (2008)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一, C. Huneke, M. Mustata and S, Takagi
  • 雑誌名: to appear in Michigan Math. J. (掲載決定)
  • 査読あり
• [雑誌論文] Coefficient ideals of ideals in $k[X,Y]$ generated by monomials (2008)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一
  • 雑誌名: to appear in Proc. Inst. Natural Sci., Nihon Univ. 43(掲載決定)
  • 査読あり
• [雑誌論文] Jet schemes, arc spaces and the Nash problem (2007)
  • 著者名/発表者名: 石井志保子
  • 雑誌名: C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 29 ページ: 1-21
  • 査読あり
• [雑誌論文] Totally reflexive modules constructed from smooth projective curves of genus (2007)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一
  • 雑誌名: Archiv der Mathematik 89 ページ: 60-67
  • 査読あり
• [学会発表] Introduction to arc spaces and the Nash problem. (2008)
  • 著者名/発表者名: 石井志保子
  • 学会等名: Fourth meeting for Young Mathematicians in Sedano (8時間の連続講義)
  • 発表場所: Sedano, Spain
  • 年月日: 20080204-09
• [学会発表] 複素2次元特異点と閉リーマン面の退化族について (2008)
  • 著者名/発表者名: 都丸正
  • 学会等名: 日本数学会総合分科会関数論部会特別講演
  • 発表場所: 近畿大学
  • 年月日: 2008-03-23
• [学会発表] Methods of characteristic $p>0$ in Singularity Theory (2008)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一
  • 学会等名: 第3回代数・解析・幾何セミナー
  • 発表場所: 鹿児島大学2/18-21
  • 年月日: 2008-02-18
• [学会発表] Toric varieties, monomial valuations and arc spaces. (2008)
  • 著者名/発表者名: 石井志保子
  • 学会等名: 研究集会「トーリック多様体の理論の展開と応用」
  • 発表場所: 東北大学
  • 年月日: 2008-01-10
• [学会発表] F-thresholds, with applications to multiplier ideals, integral closure and multiplicity (2008)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一
  • 学会等名: CIMPA Conference on Commutative Algebra
  • 発表場所: IIT Bombay, Mumbai, India
  • 年月日: 2008-01-10
• [学会発表] Methods of characteristic $p>0$ in Singularity Theory (2007)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一
  • 学会等名: Summer School, "Characteristic p methods in Algebraic Geometry"(90分, 4回連続講演)
  • 発表場所: Drobeta-turum-Severin, Romania
  • 年月日: 20070614-19
• [学会発表] Smoothness criteria by jet schemes. (2007)
  • 著者名/発表者名: 石井志保子
  • 学会等名: Algebraic Geometry and Commutative Algebra Tokyo 2007
  • 発表場所: 東京大学
  • 年月日: 2007-12-13
• [学会発表] F-thresholds - application to lc thresholds and a conjecture on multiplicity (2007)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一
  • 学会等名: Algebraic Geometry and Commutative Algebra Tokyo 2007
  • 発表場所: 東京大学
  • 年月日: 2007-12-12
• [学会発表] F-thresholds, tight closure, integral closure and multiplicity bounds (with C. Huneke, M. Mustata, S. Takagi) (2007)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一
  • 学会等名: 第29回可換環論シンポジウム
  • 発表場所: 名古屋・池下厚生年金会館
  • 年月日: 2007-11-19
• [学会発表] Arcs and valuations-some finiteness properties (2007)
  • 著者名/発表者名: 石井志保子
  • 学会等名: 城崎代数幾何学シンポジウム
  • 発表場所: 城崎大会議館
  • 年月日: 2007-10-26
• [学会発表] C^<*->作用をもつリーマン面の退化族とC^<*->作用をもつ2次元特異点 (2007)
  • 著者名/発表者名: 都丸正
  • 学会等名: 日本数学会秋季総合分科会関数論部会一般講演
  • 発表場所: 東北大学
  • 年月日: 2007-09-24
• [学会発表] Ring theoretic properties of F-thresholds (2007)
  • 著者名/発表者名: 渡辺敬一
  • 学会等名: Hilbert functions and Syzygies in Commutative Algebra and Combinatrics: A Conference in honor of Juergen Herzog inthe occasion of his 65th birthday
  • 発表場所: Cortona, Italy
  • 年月日: 2007-09-18
• [学会発表] Smoothness criteria by jet schemes. (2007)
  • 著者名/発表者名: 石井志保子
  • 学会等名: Fourth Franco-Japanese Symposium on Singularities
  • 発表場所: 立山国際ホテル
  • 年月日: 2007-08-28