| 研究概要 |
今後、我が国において、少なくとも5年以上の長期に亘って継続されるグレブナー基底の理論と実践に関する共同研究を、将来、永続的な国際共同研究に発展することを視野に入れ、計算可換代数、計算代数解析、計算代数統計など、複数の研究分野に属する研究者から構成される研究プロジェクトを組織し、永続性と国際性を考慮しつつ、グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性の探究を強力に推進し、我が国が当該研究分野の国際的な研究拠点となることを目指す、というのが本基盤研究の目的である。最終年度である平成21年度は、平成18、19、20年度における研究成果を踏襲し、計算代数統計に現れるグレブナー基底の基礎理論の構築を推進するとともに、凸多面体のEhrhart多項式の根の振る舞いの探究を展開した。
前者の顕著な成果は、従来のSegre--Veronese配置の一般化である、入れ子配置(nested configuration)のトーリック環とトーリックイデアルの具象的研究を展開し、特に、そのトーリック環の正規性とトーリックイデアルのグレブナー基底についての理論を構築し、二次二項式から成るグレブナー基底の豊富な類を得たことである。
後者の研究成果の一つは、整数kとdで0≦2k≦dを満たすものを固定するとき、d次元のGorenstein Fanopolytope Pで、条件(1) PのEhrhart多項式i (P, n)はd個の異なる根を持つ;(2) i( P, n)は2k個の虚数根を持つ;(3) i (P, n)はd-2k個の実数根を持つ;(4) すべての虚数根の実部は-1/2である;(5)すべての実数根は開区間(-1,0)に属する、を満たすものを構成することに成功したことである。
|
