| 研究概要 |
1. 無反射ポテンシャルの最も簡単な場合である1-ソリトンに対応する無反射ポテンシャルは,古くはカメロン・マルチンにより1940年代に研究された,ブラウン運動の時間に関する自乗積分ノルムを相関数とする確率振動積分と対応している.このような確率振動積分は調和振動子に付随するシュレディンガー作用素とも対応している.この確率振動積分の連立形を利用すれば,スペクトルゼータ関数などが精力的に調べられている非可換調和振動子作用素のスペクトル解析が確率論的手法で容易にとりおこなえることを平成20年度に見いだしていた.国際学術誌Kyushu Journal of Mathematicsに発表した結果をさらに改良し,より一般の非可換性の高い設定においても,非可換調和振動子の無限小変換を実現する確率解析的アプローチを開発し,Kyushu Journal of Mathematicsに発表した.
2. ブラウン運動の自乗積分ノルムとブラウン運動が定める確率面積の間には非常に緊密な関係が成り立っている.実際,確率面積の特性関数が自乗積分ノルムの特性関数の2乗となっている.この緊密さに着目し,オレンシュタイン・ウーレンベック過程の定める確率面積を用いて1ソリトンに対応する無反射ポテンシャルを構築した.また,その研究に際し,オレンシュタイン・ウーレンベック過程の定める確率面積とオイラー多項式の密な関係も見出した.これらの成果を論文としてまとめ,国際学術誌Stochastic Processes and their Applicationsに投稿した(印刷中).
3. オイラー多項式の確率面積との対比を見るためには,確率面積とブラウン運動の自乗の高次の積の期待値の具体的な値が必要となる.この計算において見出された再帰的な関係式から,期待値計算がコクセター群と強く関連するはずであるとの予想を得,現在研究を継続している.
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