| 研究概要 |
確率解析の解析学への応用の出発点は, 拡散過程を用いて, 微分方程式の解を確率振動積分(ラプラス-フーリエ型期待値)により表示できることである. たとえば, 2階偏微分作用素に付随する熱方程式の解の期待値表示はファインマン・カッツの公式としてよく知られている. 近年盛んな確率解析の数理ファイナンスへの応用も, このような確率解析と偏微分方程式の関連に基づいている.
Korteweg-de Vries(KdV) 方程式は浅水波を記述する方程式であり, この方程式に関しては非常に多くの解析的研究がなされている.とくにこの方程式はソリトン解, 周期解と呼ばれる非常に興味深い挙動をする解を持っている.研究代表者は先立つ研究においてKdV方程式のソリトン解の期待値表現に成功していた.本研究は, その成果を元に, さらにKdV 方程式およびKdV 階層の確率解析的手法による研究を行うこと, またそれに伴い必要となる確率解析の理論研究を行うことを目的とし遂行している. 具体的には次のような問題の解明を目指している.
(A) 無反射ポテンシャル, ソリトン解, τ関数の収束の確率論的解析をおこなう.それぞれに対応するオレンシュタイン・ウーレンベック過程, および付属的なファインマン・カッツ.ウェートの収束を解明する.
(B) 周期ポテンシャル, 周期解の確率論的表示をえる. (A)で述べた無反射ポテンシャルの収束の確率解析的証明を利用して, 周期ポテンシャル, KdV方程式の周期解に対する期待値表示を実現する.
(C) 無反射ポテンシャルの散乱データの自由度の増加にあわせて付随するオレンシュタイン・ウーレンベック過程の次元があがっていく.これは, オレンシュタイン・ウーレンベック過程と頂点作用素が関連していることを示唆する事実である.このような頂点作用素との関連の解明を目指している.
(D) KdV方程式に付随して現れる確率振動積分はこれまでに研究されていないタイプのものである.これから, 確率振動積分の一般論の展開を行いたい.
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