| 研究概要 |
本研究の目的は,経済学,システム工学,オペレーションズ・リサーチ,最適化理論,アルゴリズム理論などの広汎な分野における基礎的諸問題に関わる離散構造を,離散凸性という横断的視点から整理し,「離散凸」という新しいパラダイムを確立し,それを広範囲の応用分野に浸透させることにある.この目的の実現のため,「離散凸パラダイム」の横糸を成す,構造定理やアルゴリズムを代表とする離散関数に関する数理の研究と,縦糸を成す,諸応用分野における具体的な諸問題に対する研究を行った.具体的な本年度の研究実績は以下の通りである.
・ジャンプシステムと呼ばれる離散システム上の関数に対して,M凸関数の概念を定義し,合成積やネットワーク誘導などの基本演算ができることを示した.さらに,ネットワーク誘導の一般化として,リンキングシステムによる変換が定義できることを示した.
・ジャンプシステム上のM凸関数に対して,局所最適性が大域最適性を保証するという定理を示すとともに,大域最適解を求めるアルゴリズムを示した.
・数理経済学におけるマッチングモデルにおいて,効用関数が離散凹関数である場合に均衡が存在することを示した.これにより,近年海外において提案されたいくつかのモデルが,統一的な枠組に吸収されたことになる.
・制御理論において基本となる行列束の構造を組合せ論的に特徴づけた.
・連続変数と離散変数が混ざった関数に対してM凸関数の概念を定義し,局所最適性と大域最適性の関係など,その基本的な性質を明らかにした.
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