| 研究分担者 |
石田 正典 東北大学, 大学院理学研究科, 教授 (30124548)
尾形 庄悦 東北大学, 大学院理学研究科, 助教授 (90177113)
梶原 健 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 助教授 (00250663)
吉田 健一 名古屋大学, 大学院多元数理科学研究科, 助教授 (80240802)
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| 研究概要 |
標数p>0の体k上の代数多様体XのF-正則特異点(X,x)とその上の有効因子Dに対してF-純閾値(F-pure threshold)とよばれる正の実数fpt_x(X,D)が定義される.Dを多項式f=f(x,y)で定義されるアフィン平面X=Spec k[x,y]上の因子とするとき,組(X,D)の原点におけるF-純閾値は,fに付随するMonskyの増加関数φ_f(t)の値がその飽和値1をとる最小の実数t=c(f)に他ならない.本年度に研究代表者が発表した論文"F-pure thresholds and F-jumping exponents in dimension two"においては,fが斉次多項式の場合にF-純閾値c(f)と関数φ_f(t)の振舞いについて考察したが,この議論を一般化して,fが重み付き斉次多項式の場合にも,この重みに関する多項式環k[x,y]のDemazure表示を用いて同様の考察を行った.その結果,この場合も斉次多項式の場合と同様に,φ_f(t)がp→∞で収束し,その極限が2次以下の区分的多項式関数になることなどが示された.また,F-純閾値と対数的標準閾値の対応に基づいて,対数的標準特異点の最小中心の概念の『正標数版』となるべきF-純特異点の最小中心の概念を定義し,正標数の代数曲面上の随伴束の自由性の問題への応用を試みたが,このアプローチは正標数特有の病理的現象が障害となり有効でないことがわかった.F-純特異点の最小中心に対して期待される最低限の性質として,閉点xにおける組(X,D)のF-純閾値をcとするとき,点xが組(X,cD)のF-純特異点の最小中心であることと,組(X,cD)のF-分裂次元が0であることの同値性が予想されるが,この問題も,D=0の場合以外では未解決である.
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