| 研究概要 |
既約概均質ベクトル空間の分類は佐藤幹夫氏と完成することが出来たが既約でない一般の簡約可能概均質ベクトル空間の分類は依然として手がつけられない状況にある。
作用する群の半単純部分が単純代数群か、二つの単純代数群の直積の場合だけが完成しており、既約成分が2固の場合すら未解決部分がある。
それに対し佐藤幹夫氏は既約でない場合の簡約可能概均質ベクトル空間の分類をする手段として、一見特殊な形にみえる概均質ベクトル空間の分類に取り組んだ。
それはn次特殊線形代数群の半単純部分代数群HとGL(V)の簡約可能部分代数群Gの直積がV(n)〓Vに作用する群と空間の組をPとする。
Vは既約表現空間の直和に分解し、各既約表現空間V(i)はGの単純成分の既約表現空間V(i,j)のテンソル積になる。dim V(i,j)の中で最大のものをδとおく。
このδを与えるiをtとしてV(t)のjの固をkとおく。δ≦n≦dim V-δという条件をつけるとk=0,1,2であることを佐藤幹夫先生は証明して,更にk=2の場合を完全に類した。
k=0の場合は簡単ですぐ出来るが,k=1の場合の研究は全くされていなかった。
k=1の場合は、V(t)は単純代数群の既約表現空間になる。
今年度の研究で例外型単代数群に対応する場合の分類を完成することが出来た。
古典単純代数群の場合はextreme case即ちn=δまたはn=dim V-δの場合に研究が進み、対応する単純代数群がSL(d)以外である場合の分類も完成することが出来た。
なおSL(d)の場合が完成することと、スカラー倍の作用を持つすべての概均質ベクトル空間の分類が完成することは同等であり、それは現段階ではきわめて難しい問題である。
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