| 研究概要 |
p進Hodge理論については,p進体上の良い退化をもつ代数多様体X上のp進層(=基本群のp進表現)について研究した.相対p進エタールコホモロジーの研究と関連して,p進層に対してHodge-Tate,de Rham,crystallineという概念が導入されている(兵頭,都築,Faltings).1進層(1はpと異なる素数)については,Zariski-永田のpurityより,特異ファイバーに沿って不分岐になるためには,特異ファイバーの生成点で完備局所化してえられる完備離散付値体への引き戻しが不分岐であることが必要十分である.本年度は特に,この類似がp進層で成り立つこと,すなわち,X上のp進層がHodge-Tate(de Rham,crystalline)になるためには,上述の完備離散付値体への引き戻しが,Hodge-Tate(de Rham,crystalline)になることが必要十分であることを示した.証明にはp進体の絶対ガロア群のCp表現,BdR表現についてのSenの理論,Fontaineの理論の基本群への一般化(F. Andereatta, O. Brinonによる研究がある.研究代表者も独立に研究)を用いた.系として,例えばX上のproper smooth schemeの相対p進エタールコホモロジーがde Rham層になることが従う.p進L関数への応用に関連しては,虚数乗法をもつ楕円曲線のpolylog層のordinaryな素数pでのクリスタリン実現の具体的な記述等の前年度の結果を,supersingularな素数へ拡張することに成功した.あるp進微分方程式系の解として定義されるp進楕円polylog関数が実際に存在すること,およびその解があるdistribution relationを満たすことを直接示せたことが鍵であった.(坂内健一,小林真一との共同研究).
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