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2006 年度 実績報告書

数系タイル張りと非周期的離散構造

研究課題

研究課題/領域番号 18540020
研究種目

基盤研究(C)

研究機関新潟大学

研究代表者

秋山 茂樹  新潟大学, 自然科学系, 助教授 (60212445)

研究分担者 伊藤 俊次  金沢大学, 大学院自然科学研究科, 教授 (30055321)
谷川 好男  名古屋大学, 大学院多元数理研究科, 助教授 (50109261)
小松 和志  高知大学, 理学部, 助教授 (00253336)
竹内 照雄  新潟大学, 自然科学系, 教授 (10018848)
キーワードPisot Number / Discrete Dynamical system / Symbolic dynamical system / Domain Exchange / substitution
研究概要

数系を記号力学系と連結させることが大きな研究の目標である。とくに数系の有限性に関しては、ベータ展開、標準数系ともに共通してある種の記号力学系が対応しており、その対応を書き下すとシフト基数系の概念にいたる。このシフト基数系はd次元格子上の簡単な力学系であり、その縮小的パラメータ空間はベータ展開や標準数系を統一的に扱う一種のモジュライ空間である。その基本的な性質をまとめたのが第一の論文である。この研究では、いくつか重要な発展があった。Acta Arithmeticaの論文では二次元のシフト基数系の詳細な記述に成功した。上記パラメータ空間の境界上の絶対値1のパラメータに対応する場合は扱いが非常に難しいが、Periodica Math.Hungaricaの論文では二次元のシフト基数系の境界上で全ての軌道が周期的になることの証明が可能となる点を見つけた。この場合、対応する力学系は格子状の離散的回転であり、領域交換の力学系と対応付けることにより研究が進んでいる。数系の有限性については、何らかの意味で正であることが重要な役割を果たす。すなわち、正なものに限って有限表示を論ずることも意味がある。そのように弱めた有限性を満たす数系にどのような場合があるのかをDevelopments in Mathematicsの論文で分類した。これらの研究は一般置換規則の幾何学的実現、特にそのスペクトル理論と深く関連しており伊藤らは、その方向から研究を進めた。
これらの研究と平行してFrougny, Sakarovitchとの共同で数論的Meyer集合の研究、有理数基数の実数の数系とDiophantus近似への応用についての研究を進めている。特に有理数を底とする展開は力学系として大変複雑でありながら興味深い数論的結果を得ることができる。この展開の言語理論的研究、禁止語、エントロピーなどの研究は数論と力学系の研究の中間的な色彩を持っている。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2006 2005

すべて 雑誌論文 (6件)

  • [雑誌論文] Basic properties of shift radix systems2006

    • 著者名/発表者名
      Shigeki Akiyama, Tibor Borbely, Horst Brunotte, Attila Petho, Jorg Thuswaldner
    • 雑誌名

      Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi 22・1

      ページ: 19-25

  • [雑誌論文] Remarks on a conjecture on certain integer sequences2006

    • 著者名/発表者名
      Shigeki Akiyama, Horst Brunotte, Attila Petho, Wolfgang Steiner
    • 雑誌名

      Periodica Math. Hungarica 52・1

      ページ: 1-17

  • [雑誌論文] Positive finiteness of number systems2006

    • 著者名/発表者名
      Shigeki Akiyama
    • 雑誌名

      Number Theory : Tradition and Modernization, Developments in Mathematics, Springer 15

      ページ: 1-10

  • [雑誌論文] Atomic surfaces, tilings and coincidences I : Irreducible case2006

    • 著者名/発表者名
      Shuji Ito, Hui Rao
    • 雑誌名

      Israel J. Math. 153

      ページ: 129-156

  • [雑誌論文] Pisot substitutions and the Hausdorff dimension of boundaries of Atomic surfaces2006

    • 著者名/発表者名
      D.J.Feng, M.Furukado, Sh.Ito, J.Wu
    • 雑誌名

      Tsukuba J. Math. 30・1

      ページ: 195-223

  • [雑誌論文] Generalized radix representations and dynamical systems II2005

    • 著者名/発表者名
      Shigeki Akiyama, Horst Brunotte, Attila Petho, Jorg Thuswaldner
    • 雑誌名

      Acta Arithmetica 121・1

      ページ: 21-61

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公開日: 2008-05-08   更新日: 2016-04-21  

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