交代符号行列,対称関数の組合せ論とその表現論,可積分系への応用

2006 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 18540024
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 岡田 聡一 名古屋大学, 大学院多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
• 研究分担者: 梅村 浩 名古屋大学, 大学院多元数理科学研究科, 教授 (40022678) ; 中西 知樹 名古屋大学, 大学院多元数理科学研究科, 助教授 (80227842) ; 石川 雅雄 鳥取大学, 大学教育総合センター, 助教授 (40243373)
• キーワード: 対称関数 / painleve型方程式 / 交代符号行列 / 平面分割 / Young図形

研究概要

対称関数の組合せ論とpainleve型方程式への応用に関して,津田照久によって導入されたUC階層の自己相似簡約を通して,2つの分割λ,μに対応する普遍有理指標S[λ,μ]の特殊化としてPainleve型方程式の代数関数解が得られ,それに付随する特殊多項式の係数の正値性が観察されている.これに対して,岡田は,μ=の(またはλ=の)の場合に,Macdonald対称関数と2変数Kostka-Foulkes多項式の係数の正値性を利用して,特殊多項式の係数の正値性を証明した.
交代符号行列の組合せ論と可積分模型への応用に関して,交代符号行列とtottally sym-metricself-complementary plane partition(TSSCPP)の間の自然な全単射(さまざまな対称性を保つもの)の構成がこの方面の大きな問題として残されている.石川は,ある対合で不変なTSSCPPと対応すると予想される対称性をもつ交代符号行列の個数が等しいことを証明し,その対合で不変なTSSCPPの母関数などさまざまな重みに関するTSSCPPの精密化された母関数の行列式,Pfaffianによる具体的な表示式を得た.
さらに,岡田は,藤井篤之,菅野浩明,森山翔文との共同研究において,Young図形のcontentのべき和の重みつきの和を具体的に表す表示式を導き,ゲージ理論への応用を与えた.

研究成果

• [雑誌論文] Enumeration of symmetry classes of alternating sign matrices and characters of classical groups (2006)
  • 著者名/発表者名: S.Okada
  • 雑誌名: J. Algebraic Combin. 23・1 ページ: 43-69
• [雑誌論文] An elliptic generalization of Schur's Pfattian identity (2006)
  • 著者名/発表者名: S.Okada
  • 雑誌名: Adv. Math. 204・2 ページ: 530-538
• [雑誌論文] Generalization of canchy's determimant and schur's pfattiar (2006)
  • 著者名/発表者名: M.Ishikawa
  • 雑誌名: Adv. in Appl. Math. 36・3 ページ: 251-287
• [雑誌論文] A generalization of Kawanaka's identity for hall-littlewood polynomiale and applications (2006)
  • 著者名/発表者名: M.Ishikawa
  • 雑誌名: J. Algebraic Combin. 23・4 ページ: 395-412
• [雑誌論文] Paths, tableaux and 9-characters of quantum affine algebras : The Cn-case (2006)
  • 著者名/発表者名: W.Nakai
  • 雑誌名: J. Phys., A 39・9 ページ: 2083-2215