| 研究概要 |
研究代表は,前年度までに分担者・高野啓児との共同研究で,対称空間の表現に対して相対尖点性の概念を導入することにより,対称空間の任意の既約表現が,適当なシグマー分裂放物型部分群(のLevi部分群)に付随する対称空間の相対尖点的既約表現からの誘導表現に埋め込める,というp進対称空間の部分表現定理を証明していた.しかしその研究では行列成分の漸近挙動の情報を必要とするため,対称空間の軌道分解に関するある種の仮定の下で証明するという形になっていた.今年度は,以前の証明にDelorme-SecherreおよびBenoist-Ohの最新の結果を取り入れることにより,仮定を外して完全に一般の形で部分表現定理を確立することが出来た.
一方研究代表者は,これも分担者・高野啓児の協力の下で,有限体上の対称空間の表現論についても次のような成果を上げつつある:シグマー分裂極大トーラスの正則な指標に対して対称空間の表現が自然に定まるであろうことが坂内-川中-Songにより予想されていた(Macdonald予想の対称空間版)が,この予想がDeligne-Lusztig理論を用いることにより解決できる見込みが立った.ただし最終的な解決にはシグマ-分裂極大トーラス(の指標)の詳しい解析が必要であり,今後の課題として残されている.
分担者・松木敏彦は対称空間の軌道の幾何学的研究を進めた.また分担者・西山享は軌道の幾何と表現論との関係を,特に零錐とそれに付随する簡約群の退化主系列表現について詳細に調べた.
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