| 研究概要 |
研究代表者は,分担者・高野啓児との共同研究で,p進体上の対称空間の既約表現(正確には簡約群の対合シグマが定める対称部分群で不変な一次形式を持つ既約表現)がシグマ分裂放物型部分群から相対cuspidal表現を誘導してできる表現に埋め込める,という部分表現定理を証明していた.今年度は,分担者・高野啓児の協力の下で,この問題設定を有限体上の対称空間に対して適用して研究を遂行して,有限Chevalley群の表現論の精密化を目指した.対称空間の部分表現定理は有限体についても同様に成立することがわかった.よって有限体上の対称空間の表現を分類するには相対cuspidal表現の分類が鍵になる.シグマ-分裂極大卜ーラスの正則な指標に対して対称空間の表現が自然に定まるであろうことが坂内-川中-Songにより予想されている(Macdonald予想の対称空間版)が,このトーラスが基礎体上minisotropicであるとき対応する表現が相対cuspidalになることがいくつかの実例で確認でき,これにより坂内-川中-Songの予想の精密化が得られた.この方向で有限対称空間の表現論が構築されていくことが期待されている.分担者・松木敏彦はGindikinによるhorospherical Cauchy変換の考え方による半単純対称空間上の離散系列表現の記述を研究した.分担者・西山享は対称空間の放物型部分群による軌道の余法束のモーメント写像による像について3つの異なる視点から研究した.また、対称空間上の不変微分作用素に由来する多項式係数の微分作用素の等式(Capelli恒等式)について研究した.
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