| 研究概要 |
簡約群の対合シグマに関して対称空間を考える.われわれはp-進体上の場合に,任意の対称空間の既約表現(つまり ディスティンギッシュトな既約表現)に対してシグマ分裂な放物型部分群とそのレビ部分群の相対尖点的既約表現の組で,元の表現が放物型部分群からの誘導に含まれるようなものが取れる,という部分表現定理を,ジャッケによる群の場合の拡張として一般の形で確立・発表した.また,表現が自乗可積分になるかどうかがジャッケ加群のエクスポーネントを見ることでわかるというキャッセルマンの判定法を,対称空間上の表現の場合に自然な形で拡張した.いずれもジャッケ加群(定数項)の理論や対称空間の構造論,特に分解定理を巧みに用いることにより得られるものである.一方有限体上の対称空間の表現に対してもいくつかの知見を得た.まず坂内・川中・ソンによる予想を満たす表現の系列の存在をある種の仮定の下で示すことに成功した.つまり実リー群の場合と同様に,有限体上のシグマ分裂極大トーラスの非特異な一次指標に対して既約ディスティンギッシュト表現が定まり,その次数が通常の群の場合のマクドナルド予想に類似した形で与えられるというものである.さらにはトーラスが有限体上ミニソトロピックであるとき,得られた表現が相対尖点的表現(と呼ぶべきもの)になる.この表現の構成にはルスティック誘導関手を用いる.その意味でここで得られた表現はドリーニュ・ルスティック表現の対称空間上の類似物と見なすことが出来る.
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