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本研究の目的である局所ラングランズ予想は簡約代数群の表現トガロア群の表現との間に深い関係が存在すること予想している。
ここから、自然に簡約代数群の表現の不変量とガロア群の表現の不変量との間に関係があることが推測されるのであるが、実際のところ、不変量の間の関係について理解されていることは部分的で、あまり深い関係は分かってになかった。
これに関し、研究代表者は、市野篤史氏(大阪市大)・池田保氏(京都大)とのこれまでの共同研究の中で、簡約代数群の離散系列表現の不変量であるformal degreeとガロア群の表現の不変量であるL-因子・ε-因子との間の関係について精密な予想をたてることができた。この予想はこれまで知られていなかった関係であり、本研究の目的としている局所ラングランズ予想に重要な視点を導入するものであると考えられる。
この予想の一般化のーつとしてKottwitz-Shelstadの予想を考えることができる。一般にエンドスコピーを使った表現の持ち上げには定数倍が現れるのであるが、簡約代数群がquasi-splitしている場合にはWhittaker dataを固定することにより、ガロア群の表現の不変量と関わる移送因子と簡約代数群の表現の不変量である捩じれた指標とを関係づける定数を定義することができる。
Kottwitz-Shelstadの予想は、この定数が1になるであろうという予想である。
この予想のSL(n)の場合はHenniart-Lemaireにすり研究され、定数がエンドスコピーのみに依っていて表現には依らないことと、エンドスコピーが不分岐の場合には予想が正しいことが示されていた。研究代表者は市野篤史氏(大阪市大)と共同で研究を行い、Henniart-Lemaireの結果を拡張して、Kottwitz-shelstadの予想のSL(n)の場合をエンドスコピーに関する条件を仮定せずに一般的に証明することができた。
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