| 研究概要 |
平成19年度は,Partition代数の直交形式による既約表規の構成に取り組み,部分的な結果を得ることが出来た.Partition代数は対称群の中心化環という性質から,テンソル積定理とフロベニウス相互率により,その代数構造が明らかにされており,その表現の構成法もMurphy作用素を利用することで得られることはわかっているが,実際に計算を行おうとすると,(1)Murphy作用素の計算に膨大な計算を必要とする.(2)Murphy作用素から表現の構成に膨大な計算を必要とする.という2点がネックになり,具体的な表現については何も求まっていなかった.平成19年度中に岡山大学の成瀬弘氏がMurphy作用素を計算するプログラムをGAPで作成することに成功を収め,これを利用することで,4次までのPartitionの既約表現をすべて求めることに成功した.4次のPartition代数の既約表現には,4次の対称群の既約表現と同値な表現全ての他,15次,37次,20次の表現が各々1つずつと,10次,30次の表現がそれぞれ2つずつ含まれる.これだけ大きな表現が複数見つかったことは,5次以上の一般Partition代数の既約表現の一般形を求めるための大きなステップになることは間違いない.実際,成分の有理式の分母については,Partition代数のBratteli図形に現れるヤング図形の鍵長と軸間距離で記述されるというところまで観察できた.分子については,因数分解が出来ない項が存在するなど,まだ未解明な点もあるが,これらを解明することで,鍵長や軸間距離に関する関係式,さらには現在流行りのシューベルト多項式等の対象関数に関する性質の解明に寄与できる可能性もある.
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