| 研究概要 |
ネーター局所環Aに対して、\hat{A}はその極大イデアルの位相での完備化とする。A上の有限生成加群のGrothendieck群G_0(A)からG_0(\hat{A})への自然な射を考える。鴨井-藏野(J. Algebra,254(2002),21-43)により、Aが孤立特異点の場合などいくつかのケースで、その射は単射であることが示されている。Hochsterにより、その射の核がnon-zero torsionになる例が構成された。この論文では、その核がnon-zero non-torsion
になるような例を構成した。その例では,Aのnon-normal class group(余次元1のチャウ群)から\hat{A}のそれの核がZと同型である。
スペースモノミアル曲線(t^-a, t^-b, t^-c)のsymbolic Reesringの有限性において、negative curveの存在性が大きなキーになる。(a+b+c)^-2>abcが成立するとき、negative curveが存在することを証明した。また、a, b, c<300であるときは、コンピューターを使って、標数0でいつでもnegative curveが存在することを証明した。この結果、a, b, c<300であるときは、正標数ではsymbolic Rees ringは有限生成であることがわかった。
Z^-2graded ringのダイアゴナル部分環の性質を議論した。いつ、有理特異点になるかなどがわかった。また、この理論を使って、スムーズな多様体XでH^-1(X,0_X)=0かつH^-(X,0_X(1))\neq0なる例を作った。Danilovの理論により、この例ではXのアフィンコーンの因子類群は、有限生成であるが、完備化すると同形ではないことがわかる。
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