| 研究概要 |
保型形式の数論的不変量について研究を行った。
1.荒川リフトのフーリエ展開:
楕円モジュラー形式fと四元数環上の保型形式f'の組に対し、テータリフトによって2次四元数ユニタリ群上の保型形式Fが構成される(荒川リフト)。Fは、無限素点において、いわゆるquaternionic discrete seriesに属する表現を生成する(荒川、成田)。また、f,f'がともにHecke eigenformのとき、FもHecke eigenformであることが知られている(成田、村瀬)。今年度の成田宏秋氏(大阪市立大COE)との共同研究により、Fのフーリエ展開を完全に決定した。各係数は、fとf'の周期の積によって記述される。応用として、0でない荒川リフトの具体例を構成することができた。今後の課題としては、これら周期と保型L関数の特殊値との間の関係を正確に記述することがある。
2.楕円モジュラー形式の周期と中心L値の関係:
SL(2,Z)上の正則尖点形式fの周期(虚2次体KにおけるCM値の1次結合)の絶対値の平方が、fのtwisted L-関数の中心値によって表されることを証明した。これは昨年度、Kの類数が奇という仮定のもとで証明したことだったが、別の方法を用いることにより、類数に関する仮定を外すことができた。今後の課題としては、合同部分群上の保型形式に対して結果を拡張することである。この問題は、(1)で述べた問題に関係している。また、Hilbertモジュラー形式の場合に考察することも興味深い問題である。
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