| 研究課題/領域番号 |
18540062
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
井関 裕靖 東北大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (90244409)
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| 研究分担者 |
小谷 元子 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50230024)
藤原 耕二 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (60229078)
金井 雅彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (70183035)
納谷 信 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
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| キーワード | 離散群 / 非正曲率空間 / 調和写像 / 剛性 / 固定点性質 |
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| 研究概要 |
本研究の目的は、離散群の非正曲率空間に対する固定点性質を微分幾何学的な視点で導き、固定点性質の意味を探ることであった。この目的に沿って、平成19年度は以下のような成果を得た。
ランダム・ウォークが与えられた離散群Γが非正曲率空間Yへ等長的に作用しているとき、その作用に関して同変なΓからYへの写像fのエネルギーE(f)を定義することができる。さらに、Γに与えられたランダム・ウォークのnステップの推移確率は再びΓ上のランダム・ウォークを定めるので、このnステップの推移確率を用いて同変写像fのエネルギーEn(f)を定義することもできる。昨年度までに、われわれは、次のような固定点定理を証明していた:「ある自然数nと正数εが存在し任意の同変写像fに対しEn(f)≦(n-ε)E(f)が成立するなら、ΓのYへの作用は固定点をもつ。」今年度は、グラフ・モデルのランダム群がこの固定点定理の仮定を満たすような非正曲率空間のクラスについて研究した。グラフ・モデルのランダム群に対しては、そのグラフ(の族)からYへの写像の非線形固有値を用いてこの固定点定理の仮定を述べることができる。この非線形固有値を、YのHibert空間への埋め込みの歪曲度を使って評価することに成功した。また、別の手法により、グラフの頂点数と線形固有値による一様評価を得ることもできた。これらの結果の応用として、グラフ・モデルのランダム群は次元を上から押さえたBruhat-Titsビルディングに対する固定点性質をもつことを示すことができた。
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