| 研究概要 |
本研究の課題である4次元微分ボアンカレ予想および改変ヤマベ不変量の周辺のテーマについて昨年度同様に今年度も研究を進めた。
Hadamard空間上のボアソン核や熱核から定まる確率測度空間への自然な写像の幾何学的性質の解明に大きな進展があり、情報幾何学としての研究貢献をした。空間X上の正密度関数をもっ確率測度の全体のなす空問に定まるFisher情報計量を介して情報幾何学の視点からHadamard空間の研究を発展させることができた。
Hadamard空間が、調和的空間であるところの,階数1非コンパクト型対称空間を含む,より広範のDamek-Ricci空間ならば,ボアソン核および熱核が定める写像がFisher情報計量と空間計量に関して相似的であることを明らかにした。さらに相似的かつ極小なPoisson核写像をもっHadamard空間は調和的空間かという逆問題を考察することができた。実際,このときHadamard空間は,Busemann関数に関して漸近調癩的であり, かつ理想境界の幾何学的性質である可視性を有するということが明らかにされた。因みに調和的Hadamard空問は漸近調和的であり,Damek-Ricci空間は可視的であることが知られている。
他方,擬強凸多様体上の正則束cohomologyのSerre双対性定理を非コンパクトケースに拡張できた。また3次元閉空間のR×H2構造について3次元Seiberg-Witten理論を展開することができた。
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