| 研究概要 |
1990年にドとファンによって肯定的に解決されたことになっていたユークリッド平面のシュタイナー比の証明は不完全であることを示す論文が雑誌に出版のため受理された.これは,昨年度の研究成果として発表め準備を開始したシュタイナー比に関する研究である.点の個数が7以下であれば彼らの証明は正しいこと,および,5以下であれば,曲率が零以上のアレキサンドルフ曲面のシュタイナー比が√<3/2>であることが分かった.今後,一般的な場合の研究を続ける.
平面凸ビリヤード問題は,平面上の幾何,フェーズ空間の幾何,コンフィグレーション空間の幾何としてあらわすことができる.今年度の研究成果は,コンフィグレーション空間の平行線による層化の存在とフェーズ空間のビリヤードボール写像で不変な可縮でない閉曲線の存在の同値性を明らかにしたことである.これは,平面凸ビリヤードの積分可能性に関するバーコフ予想に関連している.
定曲率曲面をモデル空間とする比較幾何学がトポノゴフによって始められた.その発展型として,比較空間を回転曲面にする比較幾何学が登場した.すなわち,放射曲率が回転曲面の放射曲率で下から抑えられている基点付きリーマン多様体を,基点を一つの頂点とする三角形の比較定理を使って位相構造を研究するものである,比較回転曲面の全曲率がパイより大きい場合には,元の基点付きリーマン多様体は有限個のエンドしか持たないことを明らかにした.
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