| 研究概要 |
Mがコンパクトリー群Gの可微分作用をもつときに,LiP_G(M)をコンパクトな台をもつ同変イソトピーによりMの恒等写像とイソトピックなリプッシッツ同相群全体のなす群とする.LiP_G(M)にはコンパクト開位相とコンパクトリプッシッツ開位相の2通りの自然な位相群の構造が導入される.H19年度はコンパクトリプッシッツ開位相によるLiP_G(M)の単位元の連結成分LiP_G(M)_0の構造を,Mが余次元1の軌道をもつ場合に調べた.Gが有限群の場合はLiP_G(M)_0は完全群であることが解明されている.最初にMがGの表現空間Vになる場合に考察した.GがVの単位球面に推移的に作用する場合が問題となる.この場合には,原点の近くのリプッシッツ同相の振る舞いを調べるために,これまでとは異なる新たな方法を用いて,LiP_G(V)が完全群となることを証明した.次に一般にMが余次元1の軌道をもつ場合には,特異軌道の周辺で軌道を不変にする同変リプッシッツ同相をリー群の第2標準座標およびBaker-Campbell-Hausdorffの定理を用いて具体的に書き表して,L_G(M)の1次元ホモロジー群を求めた.この結果を同変微分同相群の場合と対比することで,これらの圏のホモロジー論的な相違が顕著になった.
また可微分で局所自由なS^1作用をもつ3次元多様体Mに対して,同変微分同相群の1次元ホモロジー群を調べた.これまでにM=S^3の場合その群構造が求められていたが,一般の3次元多様体の場合にその構造を決定した。この結果は,最近発行された論文に掲載されている.
またH19年度にはこれまでの研究発表を行うために,国内および国外の研究集会および関連する研究者との研究打ち合わせを行うことで,研究内容の検証した.また海外での共同研究を通して,G-不変ベクトル場のなすリー環に関する新たな研究の方向性を見つけることができた.
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