| 研究概要 |
モジュライ空間は楕円型非線形偏微分方程式の解全体の空間であるが,コンパクト多様体上ではかなり進んだ一般論がある.その一方で非コンパクトな場合には個別の状況に応じた構成が必要とされる.ここではコンパクト空間上で成立するモジュライ理論の構成のうち,非コンパクト空間上でも成り立つようなものを4次元多様体に関して抽出し、それをもとに非コンパクト空間上でのモジュライ理論を構成した.特にキャッソンハンドルトでのモジュライ理論の構成をおこなった.一般に非コンパクト空間上でのモジユライ理論に関して二っのステップがあり,一つは線形化方程式のフレドホルム理論,もう一つは横断正則性理論である.4次元多様体上ではこれまで前者の構成だできていた.これまでの研究により,後者の横断正則性に関する解析を行った.その手法は非コンパクト空間上の関数空間を漸近的にコンパクト空間上のもので近似していくものであり,ある種の一様評価を与えることで非コンパクト空間上のモジュライ空間の横断正則性を導いた.これによりキャッソンハンドルに対応する樹木の増大度を用いて評価を与えることで,代表的な4次元閉多様体の一つであるK3曲面上の微分構造の複雑性を示すことができた.さらに,ある種のスケールを用いることで,異なる偏微分方程式の対に対して,解の間の一様評価を与える一般的な構成を行なった.またそのような評価を持っ対の構成法だけではなく,持たないような偏微分方程式の対も構成した.今後はこのような手法と微分構造の複雑性との関連を調べることが一つの大きな目標となる.
|
