| 研究概要 |
(1)2橋絡み目群のgrowth functionの研究
(研究協力者:中川義行氏・田村誠氏)
有限生成群の表示を一つ固定すると、それに付随してgrowth functionと呼ばれる形式ベキ級数が定義される。これは群の増大の漸近的な振る舞いを記述するものとして研究され、特にリーマン多様体の曲率とその基本群の増大度との関係などが調べられている。さらに精密な情報を得るためには、growth functionの有理式表示を求めることが課題となる。しかしその具体的な形を求めるのは一般には難しい。本年度の研究では3次元多様体の研究で重要な対象である2橋絡み目の基本群について、そのgrowth functionの有理式表示がどのようなものになるのかの予想を提出した。この予想は計算機実験により与えられたものだが、残念ながらこれを証明することが現段階ではできていない。ただしこの有理式表示に付随していくつかの興味深い現象を発見することができた。具体的には、growth functionの極の位置、異なる2橋絡み目群の間の全射順同型が存在すう場合の記述、双曲体積との関係について考察を行った。
(2)1つ穴あきトーラスの基本群のSL(2,C)character varietyに関する計算機実験
(研究協力者:Ser Peow Tan氏)
1つ穴あきトーラスの基本群のSL(2,C) character varietyは、基本的な3次元多様体の双曲構造の変形の空間とみなすことが可能で詳細な研究が近年行われている。Character varietyの各点がBowditch-TanのQ条件を満たすかどうかの判定を行うための計算機ソフトウェアの開発と、これを利用した実験を行った。これによりこれまでの研究では知られていなかった新しい現象を見つけることを目標としている。
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