| 研究概要 |
これまでの古田幹雄氏との共同研究で4次元スピン閉多様体に対する10/8-不等式は1次元ベッチ数が正の場合には改良できることを示していた。しかし、その際に現れる新しい項はあるK群上で定義される組み合わせ的な量であり、その性質まで調べていなかった。本年度はそれを不変量として書き下し,その性質を調べた。
まず,その不変量がベッチ数や符号数のようにスピンとは限らない場合にも定義される不変量として表されるかどうかについて考察した。その結果、その不変量を少し弱くしたものは、1次元コホロジー環上の4重積に関する不変量として定義できることがわかった。これは連結和に関して加法的であるなどのよい性質を持っていて,幾何的な解釈が可能と思われるが、その意味についてはこれからの研究する予定である。
更に、この不変量自身を組み合わせ的ではなくK-群からの直換的な定義を与えた。これにより不変量の連結和に関する加法性が導かれた。しかし、同変K-群を経由していて幾何的な意味づけがあまり明確ではない。また、スピンとは限らない4次元多様体に対して定義できるかどうかもわからない。これらの問題は4次元多様体のホモトピー形を理解するためにも解決したい問題と考えているが、現時点では方向性すらわかっていない。これから1次元ベッチ数が正の4次元閉多様体の研究全体を推し進めたいと考えている。
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