| 研究概要 |
Thurston normは実数係数2次元homology群上のpseudo normであるが,3次元多様体に関してはPoincare-Lefcshetz双対定理により実数係数1次元cohomology群上に定義されていると考える事ができる.近年,幾つかの仕事によりその下界が得られてきた.特に,C. McMullenによるAlexander normとV. Turaevによる"homological estimate"が重要であると思われる.これらの仕事を踏まえて,Thurston normに関する単位球体(それは多面体となることが知られている)の記述を試行中である.諸般の困難の為,計算の自動化が遅れる等,十分な結果が得られているとは言えないが,この知見は重要であり,さらに計算,記述を進めたい.
3次元多様体上の葉層構造に対し,W. Thurstonの定理により,その葉層構造がReeb成分を持たなければ,その葉に接する平面場のEuler類に関する所謂Thurstonの不等式が成立する.本研究に関わる研究によりReeb成分を持つ葉層構造に対してもその不等式が成立する場合がある事がわかってきたが,さらにその為の或る十分条件を得た.また,Thurstonの不等式が成立しない状況を具体的に捉える事ができた.しかし,Reeb成分を持ちながら不等式が成立する為の十分条件は,それを満たせばそのEuler類は自明となるものであった.これに関して非自明なEuler類を持ちかつ不等式を満たす例を無限個構成することができた(Shigeaki MIYOSHI and Atsuhide Mori : Reeb components and Thurston' s inequality, preprint).
Thurston単位多面体の記述に関しても円周上の曲面束及び回転可能葉層に対しては一般的な解明が望まれ,その為に以上の結果を精密に検討評価すべく,試行中である.
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