| 研究概要 |
本研究においては,ユークリッド空間の平均曲率一定曲面,3次元双曲型空間の平均曲率一定曲面,ガウス曲率一定曲面およびそれらを一般化した線形Weingarten曲面を主に研究した.
ユークリッド空間の極小曲面や3次元双曲型空間の平均曲率が一定値1の曲面および平坦曲面は,正則な微分形式とその積分で曲面が書き表されることがよく知られている.しかし,積分が表に現れないタイプの公式も存在する.3次元双曲型空間の,平均曲率から1を引いたものとガウス曲率が比例するようなWeingarten曲面(通称BLW曲面)も正則な微分形式と有理型関数で書き表すことができる.(BLW曲面は平均曲率一定値1の曲面や平坦曲面の一般化である.)この表現公式によりBLW曲面を研究したのだが,具体的には,波面と呼ばれるある種の特異点を許容した曲面を扱い,弱完備性なる大域的性質を定義し,いくつかの興味深い具体例の構成などを行った.また構成した例については,数式処理ソフトMathematicaを用い可視化した.
一方,3次元双曲型空間のBLW曲面の方程式と3次元ユークリッド空間の平均曲率一定曲面の方程式に類似性を見出した.これにより,Dorfmeister, Pedit, Wuらによる可積分系理論の応用による方法(DPW法)の適用が期待される.
代表者國分雅敏は,以上の内容に関してプレプリントなどを2編執筆し,研究会などの講演2件を行った.
分担者入江博は,ハミルトン同位なラグランジュ部分多様体のなす空間上に定義されるHofer計量について、変分問題の立場からの研究に取り組み,これに関してプレプリントを1編執筆し,研究会などで講演3件を行った.
分担者小林真平は,平均曲率一定曲面について,Trinoidの構成,CMC-cylinderの分類,Bubbletonsの漸近挙動のDPW法による研究に取り組み,これに関してプレプリントを3編執筆し,学会などの講演3件を行った.
分担者Rossman Wayneは,平坦曲面や平均曲率一定曲面の研究に取り組み,これらに関してプレプリントを5編執筆した.
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