| 研究概要 |
結び目の射影図を交差点を持たない射影図に変形するために必要なReidemeister movesの回数の上からの評価は2001年にHassとLagariasによって与えられた。その議論の根幹の部分はHakenのnormal surfaceの理論に基づいていた。結び目を縁とするdiskは結び目外部空間の四面体分割に対して綺麗な位置にあるnormal surfaceに変形でき,さらに簡単な位置にあるfundamental surfaceに取り直せる。それが四面体たちの中の何枚の断片(normal disks)によって構成されているかを上から評価するのが鍵となる。今年度もそのfundamental surfacesの具体例の計算においてさらなる進展があった。昨年度は(p,q)-レンズ空間全てのQ-fundamental surfacesを計算しきることにq=1,2の場合に成功した。レンズ空間内の曲面で最も興味深いのはオイラー標数最大の向き付け不可能閉曲面である。今年度はそれに焦点を絞って,pやqの大きな(p,q)-レンズ空間を調べた。その結果,任意の2より大きい自然数nに対して,同じタイプのn-2枚のnormal disksの平行コピーを持つnormal surfaceでオイラー標数最大の向き付け不可能閉曲面となっているものを含む(pn,qn)-レンズ空間の無限列を見つけることができた。{pn}と{qn}は或る自然数列である。それらはfundamental surfaceになっていることも示すことができた。(しかし,まだQ-fundamental surfaceであるか否かは不明である。)つまり,幾らでも複雑なfundamental surfaceが存在する。現在,このことに関する論文を準備中である。
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