| 研究概要 |
本研究は2年間継続の研究であり,極小クローンの分類を主なテーマとして研究を行った。
集合A上の多変数関数の集合で,射影関数をすべて含み,合成に関して閉じているものをA上のクローン(clone)という。A上のクローンの全体は束の構造をもつが,その束における極小元を極小クローンという。極小クローンは,1個の関数によって生成されるクローンである。極小クローンを生成する関数を極小関数とよぶ。
本研究の最大の特色は,基礎の集合Aに有限体の構造を導入し,極小関数を有限体上の関数として捉えて分類の研究を進めるという点にある。3値の場合(|A|=3の場合)のB. Csakanyによる極小クローンの分類の結果の一般化を目指して,3値の場合の極小関数を多項式の形で表現することから始めて,それらを任意の有限体GF(k)上の極小関数に一般化する研究を行った。
(1)まず,極小関数が2変数idempotent関数である場合について,その分類の一般化を目指した研究を行った。極小関数が一次関数である場合と単項式である場合については,すでに完全な分類結果を得ていたが,それ以外の10個程度の極小関数について,有限体GF(k)上の極小関数への一般化にあたる多項式を得た。また,極小性判定の一般的な十分条件も得た。
(2)さらに,極小関数が3変数majority関数である場合について,上と同様の趣旨で,3値の結果を任意の有限体GF(k)上に拡張する研究を始めた。
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