|
半単純リー代数の放物型部分代数が、レビ部分代数を共有する任意の放物型部分代数と内部自己同型で移り合うとき正規であると言うことにする。当面の目標は正規放物型部分代数に対応するスカラー型の一般化されたバルマ加群の間の準同型の存在するための必要十分条件を求めることである。以前の研究代表者の研究により、存在のための十分条件が得られており、それが必要条件にもなっていると予想されているものである。この問題は放物型幾何のモデル空間において線形の微分不変量である高次の山辺作用素の存在条件を求めることと同等であり、表現論や微分幾何などに応用があると期待されるものである。前年度までの研究で、無限小指標が非特異という状況のもとでは、ある必要条件が確立され、正規放物型部分代数のほぼ半分のケースに対してはすでに得られていた十分条件と一致していることが示されていた。当該年度は残りの半分のケースにおいてさらに必要条件をさらに強い条件に置き換え十分条件とのギャップを埋めることを試みた。実際にやったことは、以下のようなことである。スカラー型の一般化されたバルマ加群はその既約因子のうちで最大のゲルファンドーキリロフ次元をもつものがち丁度一つだけある。すでに解決した半分のケースではその既約因子は同じ無限小指標をもつスカラー型の一般化されたバルマ加群についてすべて同型なのであるが、残り半分の場合は異なっている可能性がある。そこで、古典型の場合に検証を行い最大のゲルファンドーキリロフ次元をもつ既約因子を計算した。検証できたケースにおいては異なる既約因子が出てくることが確認されそのような場合は(非自明な準同型は必ず単射ゆえ)準同型の非存在が言え必要条件をかなり強くすることができた。残念ながら強化された必要条件と十分条件の間にはまだ、ギャップが微妙にあり問題の完全な解決にはいたってないが、非自明な一番簡単な例に対してはギャップを埋める議諭がみつかっており一般化を引き続き摸索中である。
|
