| 研究概要 |
1.Riesz空間値非加法的測度に対するAlexandroffの定理が,Riesz空間が弱漸近的Egoroff性をもち,測度が自己連続の場合と,Riesz空間が弱σ-分配性をもち,測度が-様自己連続の場合に成り立つことを示した.応用として,Riesz空間が多重Egoroff性をもつ場合は,完備あるいは局所コンパクトな可分距離空間上で定義された自己連続なRiesz空間値非加法的Borel測度に対して,そのRadon性と連続性は同値となることを示した.
2.非加法的測度に対するショケ積分は,現在では菅野によって導入された菅野積分と並んで,非加法的測度論で広く利用されている重要な積分概念であり,Riesz空間値非加法的測度論におけるこれら積分概念の定式化が望まれていた.そこで,Duchon, RiecanらによるRiesz空間におけるリーマン・スティルチェス積分論を用いて,Riesz空間値非加法的測度に対して,そのショケ積分の概念を定式化し,共単調関数に対する積分の加法性などの基本的性質を調べた.
3.位相空間上で定義された非加法的測度に対する新たな正則性条件として,total o-continuityの概念を導入し,通常の測度論で成り立つ幾つかの結果をRiesz空間値非加法的測度の場合へ拡張することを試みた.特に,強リンデレーフ空間上で定義された下から連続なRiesz空間値非加法的Borel測度は常にtotally o-continuousであることや,下半連続関数からなる一様有界な有向族のショケ積分に対する収束定理の成立性と,このtotal o-continuityが同値であることを示した.また,弱零加法的Riesz空間値非加法的Borel測度の台(support)や完全性(perfectness)についても議論した.
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