| 研究概要 |
「本年度の研究実施計画」で挙げた本年度の3つの具体的目標、即ち(1)一般のパンルベ階層に対する自由パラメータを含んだインスタントン型形式解の構成、(2)第二種変わり点の近傍におけるインスタントン型形式解に対する局所的構造定理の確立、(3)第二種変わり点での高階パンルベ方程式の標準形の発見のうち、本年度は(1)と(2)の項目について大きな進展が見られた。
まず(1)については、II型及びIV型のパンルベ階層が、パンルベ方程式の多変数版である(退化)ガルニエ系の適当な1次元複素直線への制限として得られること、その結果として上記のパンルベ階層にも自然なハミルトン構造が導入されることが研究協力者の小池により示された。先に得られているBirkhoff標準形への変換を利用したI型のパンルベ階層に対するインスタントン型形式解の構成法とこの結果を組み合わせれば、これでII型やIV型のパンルベ階層に対してもインスタントン型形式解が構成されたことになる。また(2)については、既に得られていた第一種変わり点における代数的に定まる自由パラメータを含まない形式解に対する構造定理を、パンルベ方程式の場合の論法を自然に一般化する形で、上記のインスタントン型形式解にまで拡張することにごく最近成功した(現在論文を準備中)。これにより、2階のパンルベ方程式の場合の主要結果が代表的なパンルベ階層に対しても成立することが確かめられたことになる。以上の成果を、国際研究集会「Algebraic, Analytic and Geometric Aspects of Complex Differential Equations and their Deformations. Painleve Hierarchies」等において発表した。
今後は(3)、即ち高階方程式特有の第二種変わり点の解析が問題となる。これについても、標準形たり得る方程式の候補者が1、2見つかった。来年度はこの問題について重点的に取り組む予定である。
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