| 研究概要 |
穴あき曲面上の複素射影構造が定めるホロノミー表現は曲面の基本群のSL(2,C)表現を定めるが、その表現空間の幾何的・解析的構造について研究を行なった。研究の目標は、穴あき曲面群のSL(2,C)表現の空間に座標系を導入し、その座標系のもとで写像類群の作用を記述することである。昨年度は、R.C.Pennerによるタイヒミュラー空間の座標系をSL(2,C)表現空間上の指標関数を用いて複素化することに成功したが、複素化されたPenner座標は多価関数であったため、表現空間で一価な分枝を見つけることが課題であったが、解決をみることができた。
該当年度に得られた結果としては、Penner座標を用いると写像類の作用が有理写像によって表現されるが、その有理写像の成分である有理関数のさまざまな特徴づけが得られたことである。例えばそれが、分母が単項式であるような既約有理式で表されること、分母に現れる変数のべきが幾何学的な意味を持つことなどである。この観察はいくつかの不定方程式の整数解への応用が期待される。また前年度の研究を継続して放物元を含むトレース恒等式の研究を組織的に行なった。これらはタイヒミュラー空間の代数多様体としての表現に応用される。またこの研究に付随して、いくつかの円周上のファイバー構造を持つ絡み目の補空間の基本群のSL(2,C)表現の計算を行ない、さらに具体的に有理写像として表現できる写像類の力学的についての考察を行なった。
|
