| 研究概要 |
穴あき曲面上の複素射影構造のホロノミーが定める曲面の基本群のSL(2,C)表現について研究を行なった。前年度までの研究で得られた基本群のSL(2,C)表現空間に拡張したタイヒミュラー空間上のPenner座標の複素化を双曲的3次元多様体、複素力学系、不定方程式の整数解などの問題に応用して様々な結果を得ることができた。
今年度の研究結果としては、Penner座標を用いると写像類の作用が有理写像によって表現されるが、その有理写像の成分である有理関数のさまざまな特徴づけが得られたことである。例えば,それが分母が単項式であるような有理式で表されること、分母に現れる変数のべきが幾何学的な意味を持つことなどである。この観察によってマルコフ方程式の整数解の一般化であるいくつかの不定方程式の整数解への応用を与えることができた。また前年度の研究を継続して放物元を含むトレース恒等式の研究を組織的に行なった。これらはタイヒミュラー空間の代数多様体としての表現に応用される。またこの研究に付随して、いくつかの円周上のファイバー構造を持つ絡み目の補空間の基本群のSL(2,C)表現の計算を行ない、さらに有理写像として表現された写像類の力学系についての考察を行なった。
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