| 研究概要 |
本年度は非線形拡散項を伴うLotka-Voltrra型競合モデルの解析をおこなった.このモデルは数理生態学分野に登場する問題であり,代表的なものは2種の生物種の生存競争がモデルである.それぞれの種の個体数密度をu,vとすると,非線形拡散を伴うシステムは
(1) u_t=△[(1+αv+γu)u]+u(a-u-cv),v_t=△[(1+βu+δv)v]+v(b-du-v)
で与えられる,ここでa,b,c,dは正定数,α,β,γ,δは非負定数であり、同次Dirichlet境界条件と初期条件をおいて考える.主として扱ったテーマは
(i)(1)に対応する非定常問題の時間大域解の存在と解の有界性を示すこと
(ii)対応する定常問題の正値解が作る解集合の構造を明らかにすること
の二つであるが,後者の成果について述べる.
(ii)については,交差係数の効果を研究するために,定常問題を
(2)△u+u(a-u-ov)=0,△[(1+βu)v]+v(b-du-v)=0
に限定して考える.数学的にも、生態学的にも興味があるのは(2)の正値解である.正値定常解について,解の個数やプロファイルについては満足な情報は少ない.手がかりを得るために,βを無限に大きくすることにより,極限問題を考察することに意義がある.空間次元が5以下の場合,β→∞のとき,正値解(u,v)の極限関数は(u*,0),ただしu*は△u*+u*(a-u)=0の正値解,であるか,もしくは次の問題の正値解(w,v)
(3)△w+w(a-cv)=0,△[(1+w)v]+v(b-v)=0
(後者においてはβu→was β→∞)に限られることを示した.
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