| 研究概要 |
●超可積分性の必要条件
自由度の数だけの可換な第一積分をのみ有する通常の可積分系においては,解は2次元トーラス上の準周期運動となり,2つの独立な周期が存在する.しかしさらにもう一つの第一積分が存在する超可積分系においては,この2次元トーラスは1次元の円周に退化し,解は周期軌道となる.これが系の超可積分性の幾何学的意味である.本研究では可積分系の部分系である超可積分系の必要条件を,既知の可積分性の必要条件のサブセットとして具体的にリストの形で得た.この結果を使うと,中心力ポテンシャルの中で有界な軌道が全て周期軌道になるのはケプラー問題および等方調和振動子に限られるという古典的なベルトランの定理が容易に再現できる.さらにこの結果によって既知の可積分な同次式ポテンシャルの系列はことごとく超可積分とはなり得ないことが厳密に証明できた.
●可積分ポテンシャルのリスト
ダルブー点におけるポテンシャルのヘッシアン行列が対角化出来ないときは可積分とはならないことが最近マチエフスキーらによって示された.この事実を用いることによって既知の可積分性の必要条件を全て満たすある広いクラスの非可積分性を示すことが可能となった.その結果,可積分となり得る同次式ポテンシャルにつて強力な制約条件がつくことになる.これについては論文執筆の準備中である.
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