| 研究概要 |
線形方程式を高速に解くためにKrylov空間法が有効である.非対称行列用の高速解法として,自乗共役勾配法
(CGS)などの積型反復解法が提案されている.また,残差最小化アプローチと呼ばれるKry1ov部分空間上で残差ノルムを最小化することによって導出される方法として共役残差(CR)法がある.近年,われわれは非対称行列用CRに基づく新しい積型反復解法:CRS(CR Squared)法(CGS法の残差ベクトルを構成する双共役勾配法(BiCG)法の残差ベクトルを非対称行列用CR法の残差ベクトルに置き換えた)を提案し,CRS法が従来のCGS法と比べて収束が安定化することを報告した.
CGS法の改良版として従来のBiCG法に基づくStabilized CGS法が提案されている.このSCGS法の残差ベクトルを構成するBiCG法の残差ベクトルを非対称行列用CR法の残差ベクトルに置き換えたSCRS法を提案する.さらに,SCRS法の1反復当たりの計算量を低減させたModified SCRS法を導き出し,提案したSCRS法とMSCRS法が従来のCGS法やSCGS法に比べて,収束が速くかつ収束性が安定していることを示した.さらに,提案したMSCRS法に対する2種類の前処理つきMSCRS法のアルゴリズムを提案し,その収束性と有用性を明らかにした.
次に,実対称行列を係数行列にもつ線形方程式を扱った.共役勾配(CG)法,CR法は実対称行列を係数にもつ線形方程式を解くための解法としてよく知られている.また,係数行列が実対称な場合,CGS法はCG法の残差ベクトルの2乗で定義される解法(残差2乗型CG法)として解釈することができる.そこで,CR法の残差の2乗で残差ベクトルが定義される実対称な線形方程式を解くための解法(sym_CRS法)を提案し,その有効性を示した.
次に,提案したSOR法を用いる可変的前処理付きGCRを長方行列,および対角項に0をもつ係数行列に対して適用できるように拡張したアルゴリズムを提案し,その有効性を示した.
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