| 研究概要 |
平成19年度は,orbifold上の種々の現象を解明する目的で,Kahler-Ricci solitonをもちうるnontoricdel Pezzo orbifoldを詳しく調査しました.特に射影平面でcolinearな相異なる3点をblow-upして得られる代数曲面を考え,その上の(-2)curveをblown-downして得られるdel Pezzo orbifold Sが非常に興味深い対象であることを見出しました.ここでSがnontoricであることは簡単にチェックできますが,さらにKahler-Ricci solitonを持つであろうということが,ペレルマンのRicci flowの議論から,殆どOKであると思われ,いまその証明の細部を詰めているところです.
この例が興味深いのは,Calabiや二木の結果からKahler-Einstein Fano多様体やtoric Fano多様体上のanti-canonical bundle上にRicci平坦計量が存在し,これがSasaki-Einstein計量を自然に誘導したのですが,それ以外にSasaki-Einstein計量の例が殆ど知られていなかったからなのです.
その他の成果としては,toric del Pezzo曲面上のKahler-Einstein計量やKahler-Ricci solitonの方程式から,R^2のある有界C^2凸領域でのhyperbolic affine sphereの方程式の類似物を導き出し,その解の境界に沿う漸近展開を具体的に求めたことが挙げられます.さらに定スカラー曲率ケーラー計量の存在の仮定の下に,偏極射影代数多様体がChow相対安定かつK-半安定であることまでは知られていたのですが,我々はこのChow相対安定性とK-半安定性の相違を組織的に研究解明しました.
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