| 研究概要 |
本研究の目的は可積分保存系(ハミルトン系)の剛性を追求することにあるが,平成18年度は伊藤が平衡点の近傍におけるバーコフ標準化の問題を超可積分性との関連で研究し,矢ヶ崎はシアレストーラスの問題の存在/崩壊問題を視野に入れた研究として,アーノルド拡散の問題を追求し,吉野はC^∞の章味で可積分であるが解析的な第一積分は存在しない例の構成問題等を研究した.これらの研究については,国内の研究会においてそれぞれが成果を発表するとともに,その機会を利用してくわしい議論を行った
とくにバーコフ標準化問題の研究では,当初は自由度nの系で共鳴度n-1の平衡点近傍での標準化を考えたが,その後一般の共鳴度の場合にも議論が拡張できることが判明し,最終的には「自由度nの解析的ハミルトン系の共鳴度qの平衡点の近傍において,n+q個の関数的に独立な解析的第一積分が存在するならば,収束バーコフ変換が存在しバーコフ標準形はn-q個の変数の関数として一意的に決まる」ことが証明できた・これに超可積分系(非可換可積分系)ではバーコフ標準形がきわめて簡単な形になることを意味し,平衡点の共鳴度と第一積分の個数との関係を与えることにもなった.この成果は本研究課題の今後の研究とくに超可積分系の摂動問題の研究を進める上での重要なステップになろう。
また,矢ヶ崎がアーノルド拡散に関係して,共鳴不変トーラスのヘテロクリニック軌道では中心方向に大きくジャンプし得ることを示すとともに,安定多様体・不安定多様体の計算機による新らしい追跡手法の研究を行ったことは今後の研究のための大きなステップになると考えている.
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