| 研究概要 |
本研究の目的は可積分保存系の岡性を追求することにあるが,平成19年度も伊藤が中心となり,バーコフ標準化の問題を超可積分なハミルトンベクトル場およびシンプレクティック写像に対して研究した。さらに吉野は,滑らかな第一積分をもつが実解析的な第一積分はもたない実解析的な自由度2のハミルトン系の構成問題を発展させ,滑らかな第一積分の具体的構成が困難な例の研究を行い,そのような第一積分の存在証明のために超漸近展開の理論が有効であることを示した。また,矢ヶ崎はアーノルド拡散の数値的研究に関係して,安定多様体・不安定多様体の計算機による追跡方法を偏微分方程式のパルス解の問題に対して適用する問題を追求した。これらの研究については,国内外の研究会において個々に成果を発表するとともに,それらの機会などを利用してくわしい議論を行った。
とくにバーコフ標準化問題の研究では,昨年度証明できた「自由度nの解析的ハミルトンベクトル場の共鳴度qの平衡点の近傍において,n+q個の関数的に独立な解析的第一積分が存在するならば,収束バーコフ変換が存在しバーコフ標準形はn-q個の変数の関数として一意的に決まる」という結果を論文としてまとめるとともに(現在投稿中),その結果を不動点のまわりのシンプレクティック写像に対して拡張することに成功した(投稿準備中)。写像の場合の結果は,与えられた写像を周期1で時間に依存するハミルトン系の時間1写像として実現することによって得られたが,標準形の形は予想とは多少異なるものになった。これらの成果は,可積分系の一般階数の特異点のまわりでの解の構造の解明や,超可積分系の摂動問題(不変トーラスの存在)への研究の基礎付けを行ったことになる。
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