| 研究概要 |
本研究課題で扱うラグランジアンファイブレーションとはシンプレクティック多様体上のファイバー空間で,一般ファイバーにシンプレクティック形式を制限すると0となるものである.この性質を持つものとして一番簡単なものが小平楕円ファイバー構造であるが,ラグランジアンファイブレーションはこの小平楕円ファイバー空間の高次元への一般化であり,多くの幾何的性質を共有するという作業仮説に基づいて研究を進めている.本年度の成果は大きく二つであり,一つ目はシンプレクティック多様体にラグランジアンファイブレーションが入る十分条件,もう一つはラグランジアンファイブレーションの特異ファイバーの分類である.
小平楕円ファイバー空間が存在する十分条件の一つとして楕円曲線が存在すること,ということが知られている.この高次元版を単純に考えると,シンプレクティック多様体がアーベル多様体を含むとき,ラグランジアンファイブレーションが入るか,という問題が考えられるが,これは反例があること,また既約シンプレクティック多様体という特殊なものについては極小モデル予想が成立すれば上記の問題は肯定的に解けることを得た.
小平楕円ファイバー空間の特異ファイバーは完全に分類されており,この分類を通して全体の空間の構造を知ることが出来る.この高次元化の第一歩として,ラグランジアンファイブレーションの余次元1の特異ファイバーを完全に分類した.結果としては小平楕円ファイバー空間の特異ファイバーとアーベル多様体の直積を割ったものになっているが.高次元特有の現象として,被約なものが現れることを確認した.また応用として,小平標準公式の弱い形の高次元版を得た.これを強めることが次年度の一つの目標である.
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